Spazio prehilbertiano

In matematica, lo spazio prehilbertiano o spazio hermitiano è uno spazio vettoriale reale o complesso nel quale è definito un prodotto interno. Si tratta di una struttura algebrica che fa da collegamento tra lo spazio vettoriale semplice e lo spazio di Hilbert, che è uno spazio prehilbertiano completo, tale cioè che la metrica indotta dal prodotto interno sia completa.

DefinizioneModifica

Uno spazio prehilbertiano è una coppia  , dove   è uno spazio vettoriale reale o complesso e   è un prodotto interno.

Sia   uno spazio vettoriale complesso o reale. Un prodotto interno sul campo   (definito come   o  ) è una mappa:[1]

 

che associa ad ogni coppia di elementi   e   lo scalare  .

Si tratta di una forma sesquilineare simmetrica definita positiva che soddisfa i seguenti assiomi per   e  :

 
 
 
 
 
  • definita positiva:
 

In altre parole, per ogni   fissato, le applicazioni

 

sono rispettivamente lineare e antilineare.

In fisica è convenzione parlare di forma hermitiana in presenza di un funzionale lineare nel secondo argomento e anti-lineare nel primo, cioè all'opposto della convenzione generalmente in uso tra i matematici. Questo perché in meccanica quantistica, nella notazione bra-ket (che porta grosse somiglianze con un prodotto scalare), per vari motivi è più comodo considerare i vettori nella seconda posizione ("ket") e i loro coniugati nella prima ("bra"). Presso alcuni autori si opera la distinzione che   è inteso nel senso matematico e   nel senso fisico.

NoteModifica

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 271.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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