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In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio topologico è separabile se contiene un sottoinsieme numerabile e denso.[1]

Gli spazi usati generalmente in analisi matematica e in geometria sono separabili: ad esempio la retta reale è separabile, perché contiene i numeri razionali, che sono un sottoinsieme denso e numerabile.

Allo stesso modo in cui i numeri reali possono essere approssimati, con la precisione desiderata, con numeri razionali, così uno spazio separabile possiede sottoinsiemi numerabili, tramite i quali ci si può avvicinare quanto si vuole a ogni suo elemento, nel senso di limite matematico.

Indice

DefinizioneModifica

Uno spazio topologico   è detto separabile se esiste un sottoinsieme numerabile e denso in  , cioè:

 .[2]

EsempiModifica

ProprietàModifica

  • L'immagine di uno spazio separabile tramite una funzione continua è separabile. Quindi lo spazio quoziente di uno spazio separabile è separabile.
  • Il prodotto di una quantità numerabile di spazi separabili è separabile.
  • Un sottospazio di uno spazio separabile può non essere separabile. Infatti ogni spazio non separabile è contenuto in uno separabile: è sufficiente aggiungere allo spazio non separabile un punto, e imporre che la chiusura di questo sia tutto lo spazio.
  • D'altra parte, ogni sottospazio aperto di uno spazio separabile è separabile e ogni sottospazio di uno spazio metrico separabile è separabile[3].
  • La cardinalità di uno spazio di Hausdorff separabile è al più  , dove  .
  • L'insieme di tutte le funzioni continue a valori in   su uno spazio separabile ha cardinalità al più  .

NoteModifica

  1. ^ H. Brezis, p. 72.
  2. ^ Fabio Ortolani, Appunti di Metodi Matematici, University of Bologna, p. 138.
  3. ^ Any subspace of a separable metric space is separable | alanmath

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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