Spazio topologico noetheriano

In matematica, uno spazio topologico noetheriano è uno spazio topologico i cui aperti soddisfano la condizione della catena ascendente; equivalentemente, è uno spazio tale che tutti i suoi sottospazi siano compatti.

Il maggior uso di questi spazi avviene nell'algebra commutativa e nella geometria algebrica: infatti, lo spettro di un anello noetheriano è uno spazio topologico noetheriano e, di conseguenza, ogni varietà affine è uno spazio noetheriano.

Definizioni equivalenti e proprietà

Uno spazio topologico $X$ è noetheriano se vale una delle seguenti proprietà:

• gli aperti di $X$ soddisfano la condizione della catena ascendente;
• i chiusi di $X$ soddisfano la condizione della catena discendente;
• ogni famiglia non vuota di aperti di $X$ ha un elemento massimale;
• ogni sottoinsieme di $X$ è compatto (con la topologia di sottospazio);
• ogni sottoinsieme aperto di $X$ è compatto (con la topologia di sottospazio).

In particolare, ogni spazio topologico noetheriano è compatto. Al contrario, la noetherianità non si lega bene agli assiomi di separazione: infatti, uno spazio noetheriano è di Hausdorff se e solo se è finito. In particolare, nessuno spazio metrico non finito (come $\mathbb {R} ^{n}$ con la topologia euclidea) può essere noetheriano.

Inoltre, uno spazio noetheriano ha solo un numero finito di componenti irriducibili.

Relazione con l'algebra commutativa

Dato un anello commutativo unitario $A$, gli aperti dello spettro $\mathrm {Spec} (A)$ di $A$ (con la topologia di Zariski) sono in corrispondenza biunivoca con gli ideali radicali di $A$; questo implica che $\mathrm {Spec} (A)$ è noetheriano se e solo se gli ideali radicali di $A$ verificano la condizione della catena ascendente. In particolare, questo è vero se $A$ è un anello noetheriano.

Poiché inoltre le componenti irriducibili di $\mathrm {Spec} (A)$ sono in corrispondenza biunivoca con i primi minimali di $A$, questo implica che i primi minimali di un anello noetheriano sono in numero finito, e di conseguenza che i primi minimali su un ideale sono finiti. Questi risultati sono in genere le prime applicazioni della topologia di Zariski per indagare le proprietà algebriche degli anelli.

Dal momento che i punti di una varietà affine corrispondono agli ideali massimali del suo anello delle coordinate, e questo è un anello noetheriano, ne segue che ogni varietà affine (e, più in generale, ogni varietà quasiproiettiva) è uno spazio noetheriano; dunque ogni varietà algebrica ha un numero finito di componenti irriducibili. Più in generale, ogni schema noetheriano è uno spazio noetheriano.

Bibliografia

• (EN) Pete L. Clark, Commutative Algebra (PDF). URL consultato il 23 marzo 2014 (archiviato dall'url originale il 14 dicembre 2010).
• (EN) Robin Hartshorne, Algebraic geometry, Springer, 1977, ISBN 0-387-90244-9.