Apri il menu principale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, lo spazio vettoriale quoziente o spazio quoziente è uno spazio vettoriale ottenuto da una coppia di spazi vettoriali uno contenuto nell'altro. Lo spazio quoziente si ottiene "collassando" allo zero. Si indica con , che si legge mod .

Indice

DefinizioneModifica

Dato uno spazio vettoriale   ed un sottospazio vettoriale  , lo spazio quoziente   è l'insieme quoziente di   (cioè l'insieme delle classi di equivalenza su  ) determinato dalla relazione d'equivalenza:

 

Cioè,   è equivalente a   se uno può essere ottenuto dall'altro aggiungendo un elemento del sottospazio  .

La classe di equivalenza di   è spesso denotata con:

 

dal momento che è data da:

 

Lo spazio quoziente   è quindi definito come  , l'insieme di tutte le classi di equivalenza su   per  . La funzione che associa ad un vettore   la classe di equivalenza   è detta mappa quoziente.

Come nella costruzione di un gruppo quoziente, addizione e moltiplicazione per scalare "passano al quoziente": sono cioè definite in   prendendo dei rappresentanti qualsiasi delle classi d'equivalenza. La dimensione dello spazio quoziente si dice codimensione di   in  . Se   è finito-dimensionale, questo è esattamente:

 

Lo spazio quoziente è uno spazio vettoriale astratto, non necessariamente isomorfo a un sottospazio di  .

Ad esempio, sia   l'usuale piano cartesiano e   una retta passante per l'origine. Allora, assumendo che ogni retta è parallela a se stessa, lo spazio quoziente   rispetto alla relazione di parallelismo tra rette può essere identificato come l'insieme di tutte le rette in   parallele a  . In generale, se   è una somma diretta di sottospazi   e  :

 

allora il quoziente   è naturalmente isomorfo a  . Un importante esempio di spazio funzionale quoziente è lo spazio Lp.

ProprietàModifica

Somma direttaModifica

In presenza di una somma diretta:

 

lo spazio quoziente   è isomorfo in modo naturale a  . L'isomorfismo è dato da:

 

dove un elemento   di   è scritto in un unico modo come  , con   appartenenti rispettivamente a  .

DimensioniModifica

Vale la successione esatta corta di spazi vettoriali:

 

In particolare:

 

Spazi di BanachModifica

Se   è uno spazio di Banach e   un sottospazio chiuso di  , allora il quoziente   è ancora uno spazio di Banach. Per definire una norma su   si pone:

 

Lo spazio vettoriale quoziente   è dunque completo rispetto alla norma.

EsempiModifica

Sia   lo spazio di Banach delle funzioni continue a valori reali e definite sull'intervallo  , equipaggiato con la norma del sup. Sia   il sottospazio delle funzioni tali che  . Allora la classe di equivalenza di qualche funzione   è determinata dal suo valore in  , e lo spazio quoziente   è isomorfo a  .

Se   è uno spazio di Hilbert allora lo spazio quoziente   è isomorfo al complemento ortogonale di  .

Generalizzazione a spazi localmente convessiModifica

Lo spazio quoziente di uno spazio localmente convesso per un sottospazio chiuso è ancora localmente convesso. Infatti, si supponga   uno spazio localmente convesso in cui la topologia è generata da una famiglia di seminorme  , con   un insieme di indici. Sia   un sottospazio chiuso e si definiscano le seminorme   su   nel seguente modo:

 

Allora   è localmente convesso e la topologia definita su di esso è la topologia quoziente. Se inoltre   è metrizzabile allora lo è anche  . Se   è uno spazio di Fréchet allora lo è anche  .

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica