Spazio vettoriale topologico

In matematica, uno spazio vettoriale topologico (a volte spazio topologico lineare) è uno spazio su cui sono definite sia una struttura topologica sia una struttura lineare, in modo che esse siano compatibili tra loro. Gli spazi topologici lineari sono tra gli oggetti più studiati dell'analisi funzionale. La ricerca riguardante gli spazi vettoriali topologici è stata iniziata da Stefan Banach negli anni trenta, come generalizzazione, appunto, degli spazi di Banach.

Indice

Definizione matematicaModifica

Sia   il campo dei numeri reali o complessi, con la sua usuale topologia. Uno spazio topologico vettoriale   su   è uno spazio vettoriale su   dotato di una topologia   tale che:

  • L'applicazione   sia continua da   in  .
  • L'applicazione   sia continua da   in  .

In entrambi i casi, gli spazi prodotto sono dotati della usuale topologia prodotto. Uno spazio topologico vettoriale è, dunque, una struttura che non solo soddisfa alle ipotesi di spazio vettoriale e topologico, ma garantisce anche una compatibilità tra le due.

ProprietàModifica

Il successo degli spazi topologici lineari in matematica è dovuto alla generalità della loro struttura (molti degli spazi utilizzati più comunemente sono spazi topologici lineari) ed al tempo stesso alla possibilità di costruire su di essi delle teorie matematiche piuttosto ricche.

Insiemi limitatiModifica

Un sottoinsieme   di   si dice limitato se per ogni intorno   dello   (lo zero di   visto come spazio vettoriale), esiste uno scalare  , tale che   contenga  . La possibilità di parlare di insiemi limitati in un ambito così astratto, è stato storicamente uno dei fattori che hanno contribuito allo sviluppo dello studio degli spazi topologici vettoriali.

DualitàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio duale.

Le nozioni di dualità sono le più importanti nell'ambito dello studio degli spazi topologici vettoriali.

Dato uno spazio topologico vettoriale  , è naturale considerare il suo spazio duale (o duale "topologico", per distinguerlo dal duale "algebrico")  , ossia l'insieme i cui elementi sono tutte le applicazioni lineari continue  . Su   si può allora definire una topologia   come la topologia meno fine rispetto alla quale tutti gli elementi di   siano continui. Tale topologia   è detta topologia debole (in quanto evidentemente più debole di  ). Il fatto notevole è che l'insieme   equipaggiato con topologia   è ancora uno spazio vettoriale topologico.

ConvessitàModifica

Gli spazi topologici vettoriali sono le strutture più generali su cui sia possibile trattare le nozioni di convessità. Gli studi in questa direzione hanno portato a definire ed analizzare gli spazi localmente convessi.

Funzioni a valori in spazi topologici vettorialiModifica

La più generale classe di funzioni per cui sia nota una teoria dell'integrazione è la classe delle applicazioni da uno spazio misurabile a valori in uno spazio topologico vettoriale. Tale nozione è nota come integrale di Von Neumann.

Stabilità per prodottiModifica

Data una famiglia (finita o infinita) di spazi topologici vettoriali  , il loro prodotto cartesiano   ha una naturale struttura sia di spazio topologico che di spazio vettoriale. Risulta che tale prodotto è anche uno spazio topologico vettoriale.

EsempiModifica

Lo spazio euclideo   è uno spazio vettoriale topologico, se equipaggiato con la topologia euclidea e con la usuale struttura di spazio vettoriale. Più in generale, tutti gli spazi di Banach sono spazi vettoriali topologici (con la topologia indotta dalla norma). Tuttavia, esistono strutture molto naturali in matematica che sono spazi vettoriali topologici, ma non sono spazi di Banach. Ad esempio, dato uno spazio di Banach  , possiamo considerare la topologia debole   su  . Con tale topologia,   in generale non sarà uno spazio di Banach (fanno eccezione gli spazi finito-dimensionali), e tuttavia sarà ancora uno spazio vettoriale topologico.

Gli spazi Lp sono spazi vettoriali topologici, qualunque sia  , ma sono spazi localmente convessi solo se  .

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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