Varietà simplettica: differenze tra le versioni
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Aggiunto sezione su sottovarieta lagrangiane; aggiunto fonte (McDuff); cambiata la convenzione per l'hamiltoniana da h a H per uniformita |
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dove ''d'' è la derivata esterna.
Notiamo come la richiesta di non degenerazione imponga la parità della dimensione di una '''varietà simplettica'''; infatti <math>\Omega</math> è antisimmetrica, i.e., <math>\Omega_{ij}=-\Omega_{ji}</math>, per cui l'invertibilità della matrice implica la parità delle sue righe (e colonne).<ref name=":0">{{Cita libro|nome=McDuff, Dusa,|cognome=1945-|titolo=Introduction to symplectic topology|url=https://www.worldcat.org/oclc/957745627|accesso=2018-10-09|edizione=Third edition|OCLC=957745627|ISBN=9780198794905}}</ref>
== Sistema di coordinate canonico ==
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:<math>\omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}</math>
Questa particolare struttura simplettica è importante perché il Teorema di Darboux ci dice che tutte le varietà simplettiche sono localmente isomorfe alla varietà simplettica standard.<ref name=":0" />
== Sottovarietà lagrangiane ==
Data una varietà simplettica <math>(M,\omega)</math> di dimensione <math>2n</math>, di particolare importanza sono le sottovarietà lagrangiane. Una '''sottovarietà lagrangiana''' è definita come una [[Sottovarietà differenziabile|sottovarietà]] <math>L\subset M</math> di dimensione <math>n</math> tale che <math>\omega</math> è identicamente zero su ogni spazio tangente ad <math>L</math>. Vi sono numerosi esempi di sottovarietà lagrangiane, come la sezione zero del [[Fibrato tangente|fibrato cotangente]] <math>T^*Q</math> di una varietà <math>Q</math> e il grafico di un [[simplettomorfismo]] <math>M\to N</math> inteso come una sottovarietà di <math>M\times N</math> con un'adeguata forma simplettica. Tale ubiquità le rende uno dei principali oggetti di studio della geometria simplettica, al punto che un motto di Alan Weinstein è "qualisasi cosa è una sottovarietà lagrangiana".<ref name=":0" />
== Forma volume simplettico ==
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== Gradienti simplettici ==
Sia <math>(M,\omega)</math> una varietà simplettica e <math>
Chiamiamo gradiente simplettico di h il campo vettoriale ''X'' su ''M'' definito come l'unico campo vettoriale tale che
:<math>\omega(X,\cdot)=
<math>
== Sistema hamiltoniano ==
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dove <math>\alpha\in T^*M</math>.
Grazie a questo nuovo operatore il gradiente simplettico si può riscrivere come <math>X=
La terna <math>(M,\omega,
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