Differenze tra le versioni di "Serie di funzioni"

Ho aggiunto dei dettagli alle convergenze e ai teoremi
(Ho aggiunto un link al criterio di Weierstrass)
(Ho aggiunto dei dettagli alle convergenze e ai teoremi)
Una serie di funzioni, analogamente alle [[serie]] numeriche, è definita come una particolare [[successione (matematica)|successione]] associata ad un'altra successione.
 
Tale successione è una [[successione di funzioni]] <math>\{f_n\}_{n \in \N}</math>, cioè ogni elemento della successione è una funzione <math>f_n(x):D\longrightarrow \R</math>, e la serie associata è definita dalla legge <math>\{s_n(x)=f_0+...\cdots+f_n\}_{n \in \N}</math> e si indica anche con:
 
:<math>\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)</math>
In analogia con le serie numeriche, i termini <math>f_n</math> e <math>s_n</math> vengono detti rispettivamente ''termine generale'' e ''somma parziale'' della serie.
 
== ConvergenzaTipi di convergenza di una serie di funzioni ==
Sia data la seguente serie di funzioni
Una serie:
 
:<math>\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)</math>
 
==== Convergenza puntuale ====
La serie ''converge puntualmente'' ad una funzione <math>f</math> in <math>A</math> se la serie numerica:
 
:<math>\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x_0)</math>
 
converge a <math>f(x_0)</math> per ogni <math>x_0</math> in <math>A</math>. L'insieme <math>A</math> viene detto ''dominio di convergenza puntuale'' della serie.
 
==== Convergenza assoluta ====
Una serie:
Come per le serie numeriche, inoltre, unaLa serie ''converge assolutamente'' se la serie di termine generale <math>|f_n|</math> converge puntualmente.
 
==== Convergenza uniforme ====
:<math>\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)</math>
La serie ''converge uniformemente'' ad una funzione <math>f</math> in <math>A</math> se converge uniformemente la successione delle somme parziali <math>\{s_n(x)\}_{n \in \N}</math>.
 
==== Convergenza totale ====
''converge uniformemente'' ad una funzione <math>f</math> in <math>A</math> se converge uniformemente la successione delle somme parziali <math>\{s_n(x)\}_{n \in \N}</math>.
UnaLa serie <math>\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)</math> ''converge totalmente'' ad una funzione <math>f</math> in <math>A</math> se e solo se passa il [[criterio di Weierstrass]], ovvero se valgono le seguenti condizioni equivalenti:
 
Una serie <math>\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)</math> ''converge totalmente'' ad una funzione <math>f</math> in <math>A</math> se e solo se passa il [[criterio di Weierstrass]], ovvero se valgono le seguenti condizioni equivalenti:
 
* Esiste <math>\{M_n\}_{n \in \N} \subseteq \R_+ </math> tale che:
 
Queste condizioni esprimono, in sostanza, l'esistenza di una serie a termini positivi convergente che "domini" la serie in questione, analogamente con il [[teorema della convergenza dominata]] di [[Henri Lebesgue|Lebesgue]].
 
Come per le serie numeriche, inoltre, una serie ''converge assolutamente'' se la serie di termine generale <math>|f_n|</math> converge puntualmente.
 
== Teoremi ==
 
* Se una serie converge totalmente, allora converge anche uniformemente e assolutamente. Non è vero il viceversa.
==== Catena di implicazioni delle convergenze ====
* Se una serie converge uniformemente in <math>A</math>, allora:
* Se una serie converge totalmente, allora converge anche uniformemente e assolutamente. Non è vero il viceversa.
 
* Se una serie converge uniformemente in <math>A</math>, allora <math>f_n</math> converge uniformemente a <math>0</math> in <math>A</math>, ovvero:
 
:<math>\lim_{n \to \infty}{\sup_{x \in A}|f_n(x)|=0}</math>
:ovvero, <math>f_n</math> converge uniformemente a <math>0</math> in <math>A</math>
* Se una serie converge uniformemente in <math>[a,b]</math>, allora:
 
==== Limite sotto segno di serie (teorema del limite uniforme) ====
:<math>\sum_n \int_{a}^{b}f_n(x)dx=\int_{a}^{b} \sum_{n}{f_n(x)} dx</math>
Sia una serie di funzioni continue che converge uniformemente alla funzione somma <math>f</math>. Allora anche la funzione somma è continua.
 
<math>\lim_{x\to x_0} f_n(x)=f(x_0), f_n(x)\to f \text{ uniformemente}\implies
\lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0}\sum_n^\infty f_n(x) =
:<math>\sum_{n=0}sum_n^{+\infty\lim_{x\to x_0} f_n(x)</math>
 
==== Integrazione sotto segno di serie ====
Sia una serie di funzioni che converge uniformemente in <math>[a,b]</math>. Allora la serie dell'integrale è pari all'integrale della serie, cioè l'integrale della funzione somma.
 
:<math>\sum_n \int_{a}^{b}f_n(x)\mathrm dx=\int_{a}^{b} \sum_{n}{f_n(x)}\mathrm dx= \int_a^b f(x)\mathrm dx</math>
 
* Se è <math>f_n \geq 0</math>, <math>f_n</math> continua per ogni <math>n</math> e la serie converge in <math>[a,b]</math> a una funzione continua, allora la convergenza è uniforme.