Differenze tra le versioni di "Processo stocastico"

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In [[matematica]], più precisamente in [[teoria della probabilità]], un '''processo stocastico''' (o '''processo aleatorio''') è la versione probabilistica del concetto di [[sistema dinamico]]. Un processo aleatorio è un insieme ordinato di funzioni reali di un certo parametro (in genere il tempo) che gode di determinate proprietà statistiche. In generale è possibile identificare un processo stocastico come una famiglia ad un parametro di [[variabili casuali]] reali <math>X(t)</math> rappresentanti le trasformazioni dello stato iniziale nello stato al tempo <math>t</math>. In termini più precisi, un processo stocastico si basa su una variabile casuale che prende valori in spazi più generali dei [[numero reale|numeri reali]] (come ad esempio, <math> \R^n </math>, o [[spazio funzionale|spazi funzionali]], o [[successione (matematica)|successioni]] di numeri reali). I processi aleatori sono un'estensione del concetto di variabile aleatoria, nel momento in cui viene preso in considerazione anche il parametro tempo.
 
== Descrizione ==
Da un punto di vista pratico, un processo stocastico è una forma di rappresentazione di una grandezza che varia nel tempo in modo casuale (ad esempio un segnale elettrico, il numero di autovetture che transitano su un ponte, ecc.) e con certe caratteristiche. Facendo delle prove (o osservazioni) ripetute dello stesso processo, si ottengono diversi andamenti nel tempo (realizzazioni del processo); osservando le diverse realizzazioni ad un istante <math>t</math> otteniamo una variabile aleatoria <math>X(t)</math> che comprende i diversi valori che il processo può assumere in quell'istante. Tali valori avranno un valore medio, che, nel caso di variabile aleatoria gaussiana, costituiranno il valore al centro della "campana" gaussiana all'istante <math>t</math>. Quindi per ciascun istante possiamo definire una variabile aleatoria, una gaussiana o altra, che rappresenti il valore più probabile del processo con il relativo indice di scostamento o deviazione standard.
 
=== Concetti e definizioni ===
== Esempio introduttivo ==
Supponiamo di voler definire matematicamente la dinamica di un punto che si muove su di una retta con una data legge probabilistica. Possiamo definire un processo stocastico come la collezione delle variabili casuali <math>\{S_t, t \in \R \}</math>, dove per ogni valore del tempo <math> t </math>, <math> S_t</math> è la variabile casuale (reale) che esprime la legge probabilistica del punto considerato al tempo <math> t</math>. Se definiamo <math>S_t</math> come la soluzione all'equazione differenziale stocastica
 
:<math>dS_t=- \mu S_t dt + \sigma dW_t,</math>
 
dove <math>\mu \in \R</math>, <math>\sigma \in \R_{>0} </math> e <math>W_t</math> denota il processo di Wiener, allora <math>(S_t)_t</math> definisce il [[processo di Ornstein-Uhlenbeck]].
 
== Concetti e definizioni ==
Si definisce processo stocastico una famiglia di [[variabile casuale|variabili aleatorie]] <math>\{X(t), t \in T \subseteq \R_+\}</math> dipendenti dal tempo, definite su uno [[spazio campionario|spazio campione]] <math>{\Omega}</math> e che assumono valori in un insieme definito ''spazio degli stati del processo''. Un processo stocastico è quindi un insieme di funzioni che evolvono nel tempo (le cosiddette ''funzioni campione'' o ''realizzazioni''), ognuna delle quali è associata ad un determinato elemento dello spazio campione, così che il risultato di un esperimento casuale corrisponde di fatto all'estrazione di una di queste funzioni.
 
 
I [[processi stocastici ciclostazionari]] servono per descrivere processi generati da fenomeni periodici.
 
=== Esempio introduttivo ===
Supponiamo di voler definire matematicamente la dinamica di un punto che si muove su di una retta con una data legge probabilistica. Possiamo definire un processo stocastico come la collezione delle variabili casuali <math>\{S_t, t \in \R \}</math>, dove per ogni valore del tempo <math> t </math>, <math> S_t</math> è la variabile casuale (reale) che esprime la legge probabilistica del punto considerato al tempo <math> t</math>. Se definiamo <math>S_t</math> come la soluzione all'equazione differenziale stocastica
 
:<math>dS_t=- \mu S_t dt + \sigma dW_t,</math>
 
dove <math>\mu \in \R</math>, <math>\sigma \in \R_{>0} </math> e <math>W_t</math> denota il processo di Wiener, allora <math>(S_t)_t</math> definisce il [[processo di Ornstein-Uhlenbeck]].
 
== Bibliografia ==
Utente anonimo