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==Enunciato, per funzioni reali a una variabile reale==
Sia <math>[a,b]\subset\Bbbmathbb R</math> un intervallo chiuso e limitato non vuoto e sia <math>f\colon [a,b] \to \R </math> una [[funzione continua]]. Allora <math>f(x)</math> ammette (almeno) un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto nell'intervallo <math>[a,b]</math>.
===Dimostrazione con la nozione di compattezza===
===Dimostrazione con successioni di punti===
Poniamo <math>s = \sup(f[a,b])</math> e individuiamo una successione <math>(y_n)_{n\in\Bbbmathbb N}</math>, <math>y_n \in f[a,b]</math>, tale che <math>y_n \rightarrow s</math> per <math>n \rightarrow \infty</math>. Questa successione certamente esiste: infatti dalla definizione di estremo superiore segue che:
* se <math>s\in\Bbbmathbb R</math>, allora <math>\forall n\in\Bbbmathbb N\;\exists y_n\in f[a,b]</math> tale che <math>s-\frac1n\leq y_n\leq s</math>.
* se <math>s=+\infty</math>, allora <math>\forall n\in\Bbbmathbb N\;\exists y_n\in f[a,b]</math> tale che <math>n\leq y_n</math>.
Per ogni <math>n</math> scegliamo ora <math>t_n \in [a,b]</math> tale che <math>f(t_n) = y_n</math>. Siccome <math>[a,b]</math> è limitato, la successione <math>(t_n)_{n\in\Bbbmathbb N}</math> è limitata, quindi per il [[teorema di Bolzano - Weierstrass]] ammette una sottosuccessione <math>(t_{n_k})_{k\in\Bbbmathbb N}</math> convergente; sia <math>x_2 \in [a,b]</math> il suo limite per <math>k\to\infty.</math> Per la continuità di <math>f</math>, abbiamo: <math>y_{n_k}= f(t_{n_k})\rightarrow f(x_2)</math> per <math>k \rightarrow \infty.</math> D'altra parte <math>y_{n_k} \to s</math> per <math>k \rightarrow \infty</math>. Per il teorema dell'[[Teorema_di_unicità_del_limite|unicità del limite]] si ha che <math>s\in\Bbbmathbb R</math> e <math>s = f(x_2)</math>. Abbiamo quindi dimostrato che la funzione <math>f </math> assume in <math>x_2</math> il suo valore massimo.
Similmente si dimostra anche l'esistenza di un punto <math>x_1</math> dove la funzione assume il suo valore minimo assoluto.
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