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</math>
*Dicesi ''tensione normale'' <math>\sigma_n</math> la [[Covarianza e controvarianza|componente]] del vettore tensione <math>{\
:<math>\sigma_n={\
</math>
*Dicesi ''tensione tangenziale'' <math>\tau_{m}</math> la [[Covarianza e controvarianza|componente]] del vettore tensione <math>{\
:<math>\tau_{m}={\
</math>
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L'insieme delle nove componenti scalari <math>\left\{\sigma_{11},\sigma_{12},\ldots, \sigma_{33}\right\}</math> rappresentano le componenti della matrice di rappresentazione, nella base <math>\left\{ \bar 1_1,\bar 1_2,\bar 1_3\right\}</math>, di un [[tensore|tensore del secondo ordine]] <math>\mathbf{T}</math> (altrimenti indicato con il simbolo di tensore <math>{\boldsymbol \sigma}</math>) detto ''tensore delle tensioni di Cauchy''. Di seguito sono riportate tutte le più comuni convenzioni tipografiche utilizzate per rappresentarne le componenti:
:<math>\ [{\
\mathbf{t}^{(\mathbf{e}_2)} \\
\mathbf{t}^{(\mathbf{e}_3)} \\
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\tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\
\end{matrix}}\right]
\;\;,\;\;{\sigma}_{ij}=\left( {\
</math>
Il '''''Teorema di Cauchy''''' afferma che la conoscenza dello stato tensionale su tre distinte giaciture tra loro ortogonali, cioè le nove componenti <math>\left\{\sigma_{11},\sigma_{12},\ldots, \sigma_{33}\right\}</math>, è sufficiente a determinare le tensioni su ogni altra giacitura passante per il punto.
In termini più formali, il teorema di Cauchy afferma che esiste un tensore <math>{\
:<math>\mathbf{t}^{(\mathbf{n})} \,={\
</math>
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Il problema delle tensioni principali consiste nel ricercare le giaciture rispetto alle quali lo stato tensionale ha solo componenti normali, cioè del tipo
:<math>{\
</math>
tale che risulti identicamente <math>\tau_{m}=0,\; \forall {\
Dal punto di vista algebrico, il problema enunciato corrisponde ad un [[Autovettore e autovalore|problema agli autovalori]], cioè di ricerca degli autovettori <math>{\
Posto nella forma (<math>{\
:<math>({\
</math>
il problema è equivalente alla ricerca dello spazio nullo (il [[Nucleo (matematica)|kernel]]) dell'operatore <math>({\
:<math>\mbox{det}\left({\
\sigma_{11} - \lambda & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} - \lambda & \sigma_{23} \\
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</math>
ove i coefficienti <math>(I_1,I_2,I_3\!)</math> sono gli ''invarianti'' del tensore <math>{\
:<math>\begin{align}
I_1&=\mbox{tr}\,{\
I_2&=\frac{1}{2}\left((\mbox{tr}\,{\
I_3&=\mbox{det}\,{\
\end{align}
</math>
Essendo il tensore <math>{\
:<math>{\mathbf n}_i\,\cdot\,{\
dove con <math>\delta_{ij}</math> si indica il [[delta di Kronecker|simbolo di Kronecker]].
In conclusione, per ogni punto esistono tre giaciture tra loro ortogonali, chiamate '''''piani principali di tensione''''', con vettori normali <math>({\
La rappresentazione spettrale del tensore delle tensioni <math>{\
:<math>
[{\
\sigma_{1} &0 &0 \\
0 &\sigma_{2} &0 \\
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Come ogni tensore, il tensore delle tensioni di Cauchy <math>\mathbf{T}</math> può essere decomposto in una parte sferica e una parte deviatorica
:<math>\mathbf{T}= \bar{\sigma} \,{\
\;\;,\;\;
[{\
\left[{\begin{matrix}
\bar{\sigma} & 0 & 0 \\
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:<math>
\bar{\sigma}=\frac{1}{3}\mbox{tr}\bigl({\
</math>
La parte sferica <math>\bar{\sigma} \,{\
==Stato piano di tensione==
Quando il valore di una delle tensioni principali è zero, sono nulle le componenti di tensioni nel relativo piano principale e si parla di stato ''tensioni piane''. Assunta <math>{\
: <math>\ [{\
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\
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