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</math>
 
*Dicesi ''tensione normale'' <math>\sigma_n</math> la [[Covarianza e controvarianza|componente]] del vettore tensione <math>{\boldmathbf t}</math> lungo la direzione normale <math>{\boldmathbf n}</math>
 
:<math>\sigma_n={\boldmathbf t}\,\cdot\,{\boldmathbf n}
</math>
 
*Dicesi ''tensione tangenziale'' <math>\tau_{m}</math> la [[Covarianza e controvarianza|componente]] del vettore tensione <math>{\boldmathbf t}</math> lungo una direzione <math>{\boldmathbf m}</math> contenuta nel piano di normale <math>{\boldmathbf n}</math>
 
:<math>\tau_{m}={\boldmathbf t}\,\cdot\,{\boldmathbf m}
</math>
 
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L'insieme delle nove componenti scalari <math>\left\{\sigma_{11},\sigma_{12},\ldots, \sigma_{33}\right\}</math> rappresentano le componenti della matrice di rappresentazione, nella base <math>\left\{ \bar 1_1,\bar 1_2,\bar 1_3\right\}</math>, di un [[tensore|tensore del secondo ordine]] <math>\mathbf{T}</math> (altrimenti indicato con il simbolo di tensore <math>{\boldsymbol \sigma}</math>) detto ''tensore delle tensioni di Cauchy''. Di seguito sono riportate tutte le più comuni convenzioni tipografiche utilizzate per rappresentarne le componenti:
 
:<math>\ [{\boldmathbf T}]\equiv \left[{\begin{matrix} \mathbf{t}^{(\mathbf{e}_1)} \\
\mathbf{t}^{(\mathbf{e}_2)} \\
\mathbf{t}^{(\mathbf{e}_3)} \\
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\tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\
\end{matrix}}\right]
\;\;,\;\;{\sigma}_{ij}=\left( {\boldmathbf T}\,{\boldmathbf e}_i \right)\,\cdot\, {\boldmathbf e}_j
</math>
 
Il '''''Teorema di Cauchy''''' afferma che la conoscenza dello stato tensionale su tre distinte giaciture tra loro ortogonali, cioè le nove componenti <math>\left\{\sigma_{11},\sigma_{12},\ldots, \sigma_{33}\right\}</math>, è sufficiente a determinare le tensioni su ogni altra giacitura passante per il punto.
 
In termini più formali, il teorema di Cauchy afferma che esiste un tensore <math>{\boldmathbf T}</math>, detto ''tensore delle tensioni'', tale che vale la seguente rappresentazione lineare
 
:<math>\mathbf{t}^{(\mathbf{n})} \,={\boldmathbf T} \,{\boldmathbf n}
</math>
 
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Il problema delle tensioni principali consiste nel ricercare le giaciture rispetto alle quali lo stato tensionale ha solo componenti normali, cioè del tipo
 
:<math>{\boldmathbf t}={\boldmathbf T}\,{\boldmathbf n}=\sigma_n \,{\boldmathbf n}
</math>
 
tale che risulti identicamente <math>\tau_{m}=0,\; \forall {\boldmathbf m}</math>.
 
Dal punto di vista algebrico, il problema enunciato corrisponde ad un [[Autovettore e autovalore|problema agli autovalori]], cioè di ricerca degli autovettori <math>{\boldmathbf n}</math> ed autovalori <math>\lambda</math> del tensore <math>{\boldmathbf T}</math>.
 
Posto nella forma (<math>{\boldmathbf I}</math> è il tensore identità)
 
:<math>({\boldmathbf T}-\lambda {\boldmathbf I})\,{\boldmathbf n}=0
</math>
 
il problema è equivalente alla ricerca dello spazio nullo (il [[Nucleo (matematica)|kernel]]) dell'operatore <math>({\boldmathbf T}-\lambda \, {\boldmathbf I})</math>, definito dalla relativa condizione di singolarità (la ''[[polinomio caratteristico|equazione caratteristica]]'' dell'operatore <math>{\boldmathbf T}</math>)
 
:<math>\mbox{det}\left({\boldmathbf T}-\lambda \,{\boldmathbf I}\right)=\begin{vmatrix}
\sigma_{11} - \lambda & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} - \lambda & \sigma_{23} \\
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</math>
 
ove i coefficienti <math>(I_1,I_2,I_3\!)</math> sono gli ''invarianti'' del tensore <math>{\boldmathbf T}</math> e sono definiti dalle
 
:<math>\begin{align}
I_1&=\mbox{tr}\,{\boldmathbf T}=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33} \\
I_2&=\frac{1}{2}\left((\mbox{tr}\,{\boldmathbf T})^2- \mbox{tr}\,({\boldmathbf T}^2) \right)= \sigma_{11}\sigma_{22}+\sigma_{22}\sigma_{33}+\sigma_{11}\sigma_{33}-\sigma_{12}^2-\sigma_{23}^2-\sigma_{13}^2\\
I_3&=\mbox{det}\,{\boldmathbf T}=\sigma_{11}\sigma_{22}\sigma_{33}+2\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31}-\sigma_{12}^2\sigma_{33}-\sigma_{23}^2\sigma_{11}-\sigma_{13}^2\sigma_{22}
\end{align}
</math>
 
Essendo il tensore <math>{\boldmathbf T}</math> simmetrico, un [[teorema spettrale|teorema dell'algebra]] assicura che l'equazione caratteristica ammetta tre radici reali <math>(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\!)</math> e, inoltre, che i tre autovettori associati <math>({\boldmathbf n}_1,{\boldmathbf n}_2,{\boldmathbf n}_3)</math> siano tra loro ortonormali:
 
:<math>{\mathbf n}_i\,\cdot\,{\boldmathbf n}_j=\delta_{ij}</math>
 
dove con <math>\delta_{ij}</math> si indica il [[delta di Kronecker|simbolo di Kronecker]].
 
In conclusione, per ogni punto esistono tre giaciture tra loro ortogonali, chiamate '''''piani principali di tensione''''', con vettori normali <math>({\boldmathbf n}_1,{\boldmathbf n}_2,{\boldmathbf n}_3)</math> ('''''le direzioni principali di tensione'''''), rispetto alle quali il vettore tensione ha solo componenti normali <math>(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> ('''''le tensioni principali''''') e manca di componenti tangenziali. Si dimostra che le tensioni principali rappresentano i valori massimi (e minimi) attinti dallo stato tensionale in un punto al variare della giacitura passante per esso.
 
La rappresentazione spettrale del tensore delle tensioni <math>{\boldmathbf T}</math>, cioè la rappresentazione del tensore in una base costituita dalle tre direzioni principali di tensione, è data dalla matrice diagonale
 
:<math>
[{\boldmathbf T}]\equiv\begin{bmatrix}
\sigma_{1} &0 &0 \\
0 &\sigma_{2} &0 \\
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Come ogni tensore, il tensore delle tensioni di Cauchy <math>\mathbf{T}</math> può essere decomposto in una parte sferica e una parte deviatorica
 
:<math>\mathbf{T}= \bar{\sigma} \,{\boldmathbf I}+\boldmathbf{T}^{dev}
\;\;,\;\;
[{\boldmathbf T}]\equiv
\left[{\begin{matrix}
\bar{\sigma} & 0 & 0 \\
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:<math>
\bar{\sigma}=\frac{1}{3}\mbox{tr}\bigl({\boldmathbf T}\bigr)=\frac{1}{3} (\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})
</math>
 
La parte sferica <math>\bar{\sigma} \,{\boldmathbf I}</math> del tensore delle tensioni è rappresentativa di uno stato [[idrostatica|idrostatico]] di tensione.
 
==Stato piano di tensione==
 
Quando il valore di una delle tensioni principali è zero, sono nulle le componenti di tensioni nel relativo piano principale e si parla di stato ''tensioni piane''. Assunta <math>{\boldmathbf e}_3</math> come la relativa direzione principale, il vettore delle tensioni ha la seguente rappresentazione in una base di vettori ortonormali <math>\left\{\bar 1_1,\bar 1_2,\bar 1_3\right\}</math>
 
: <math>\ [{\boldmathbf T}]\equiv
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\