Funzioni di più variabili complesse: differenze tra le versioni
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:<math>f(z_1,\dots,z_n)</math>
[[funzione in più variabili|in più variabili]] ''z''<sub>1</sub> ... ''z<sub>n</sub>'', definite sullo spazio delle [[Ennupla|ennuple]] di [[numeri complessi]], <math>\
<!-- Equivalentemente, come si può dimostrare, esse sono localmente il [[convergenza uniforme|limite uniforme]] di [[polinomi]] o soluzioni locali di [[spazio Lp|quadrato integrabile]] delle [[equazioni di Cauchy-Riemann]] ''n''-dimensionali.-->
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Negli anni 30, cominciò ad emergere una teoria generale, grazie soprattutto all'opera di [[Friedrich Hartogs]] e [[Kiyoshi Oka]], e agli importanti contributi di altri matematici quali [[Heinrich Behnke]], [[Renato Caccioppoli]]<ref>Giuseppe Scorza Dragoni: ''Renato Caccioppoli e la Teoria delle Funzioni di due o più variabili complesse'' in ''Il pensiero matematico del XX secolo e l'opera di Renato Caccioppoli'', Napoli 1989</ref>, [[Karl Stein]] e [[Peter Thullen]].
Ad Hartogs sono dovuti alcuni risultati basilari, tra cui il [[teorema di Hartogs|teorema]] che afferma che le funzioni analitiche in più variabili sono esattamente quelle che sono analitiche in ciascuna variabili separatamente, e la dimostrazione che le funzioni in più variabili complesse non hanno [[singolarità isolata|singolarità isolate]], contrariamente a quanto accade per ''n'' = 1. Questo risultato, unito al fatto che per ''n'' > 1 gli integrali di contorno sono integrali su [[Varietà (geometria)|varietà]] 2''n'' - 1 dimensionali (essendo <math>\
Dopo il [[1945]] la situazione cambiò radicalmente a seguito di importanti risultati ottenuti in Francia, nell'ambito dei ''Seminari [[Henri Cartan]]'', e in Germania grazie ai lavori di [[Hans Grauert]] e [[Reinhold Remmert]]. Molti problemi vennero chiariti, in particolare quello della [[continuazione analitica]], in cui risulta particolarmente evidente la differenza con la teoria per funzioni di una variabile. Infatti, mentre per ogni sottoinsieme [[Insieme aperto|aperto]] e [[spazio connesso|connesso]] di <math>\
{{chiarire|I domini su cui è più naturale definire una funzione prolungabile continuamente fino al bordo sono chiamati ''[[Varietà di Stein]]'' e sono caratterizzati dal rendere nulli i gruppi della [[coomologia dei fasci]]. Venne così risolta la necessità di chiarire le basi del lavoro di Oka e di giungere ad un utilizzo coerente dei [[Fascio (teoria delle categorie)|fasci]] per la formulazione della teoria. Questo, grazie soprattutto ai lavori di Grauert, ha avuto importanti ripercussioni nel campo della [[Geometria algebrica]].}}
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