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In generale, per una distribuzione continua di carica si ha:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 14|mencuccini}}</ref>
 
:<math>\mathbf E_0(\mathbf r) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \iiint_{\Omega} \rho(\mathbf r')\frac {\mathbf r - \mathbf r'} {\left \| \mathbf r - \mathbf r' \right \|^3} \operatornamemathop{\mathrm{d}x }\operatornamemathop{\mathrm{d}y} \operatornamemathop{\mathrm{d}z} </math>
 
dove <math>\rho(\mathbf r)</math> rappresenta la [[densità di carica]] nello spazio:
 
:<math>\rho(\mathbf r) = \lim_{\Delta V \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta V} = \frac{\operatornamemathop{\mathrm{d}q}}{\operatornamemathop{\mathrm{d}V}}</math>
 
e <math>\Omega</math> rappresenta la regione di spazio occupata dalla distribuzione di carica. Il campo elettrico si può esprimere come [[gradiente]] di un [[potenziale scalare]], il [[potenziale elettrico]]:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 41|mencuccini}}</ref>
Il fatto che una superficie chiusa che racchiuda la sorgente del campo sia attraversata da tutte le linee di forza generate dalla sorgente, si formalizza attraverso il teorema del flusso, anche detto teorema di Gauss, che definisce una proprietà matematica generale per il campo vettoriale elettrico. Nel vuoto il teorema afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa contenente una distribuzione di carica caratterizzata dalla [[densità di carica]] volumetrica <math>\rho</math> è pari alla carica totale contenuta nel volume racchiuso dalla superficie diviso per la [[costante dielettrica del vuoto]]:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 20|mencuccini}}</ref>
 
:<math>\Phi_{\Sigma} (\mathbf E)=\frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho (x, y, z) \, mathop{\mbox mathrm{d} V }= \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}</math>
 
Applicando il [[teorema della divergenza]] alla prima relazione ed uguagliando gli integrandi si ottiene:<ref name="Mencucci2010-28">{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|pag. 28|mencuccini}}</ref>
Il campo elettrostatico viene generato da una distribuzione di carica indipendente dal tempo. Condizione necessaria e sufficiente perché un campo vettoriale sia [[Campi conservativi|conservativo]] in un insieme [[semplicemente connesso]], ad esempio, un [[insieme stellato]] o [[insieme convesso|convesso]], è che la [[circuitazione]] del campo, cioè l'integrale del campo lungo una linea chiusa, sia nulla:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 54|mencuccini}}</ref>
 
:<math>\oint_{\gamma} \mathbf E_0 \cdot \operatornamemathop{\mathrm{d}\mathbf l} = 0</math>
 
Questo avviene solamente in condizioni stazionarie.
In maniera equivalente, il campo elettrostatico è conservativo dal momento che esiste una funzione scalare, il [[potenziale elettrico]], tale che l'integrale per andare da un punto A ad un punto B non dipenda dal cammino percorso ma solo dal valore della funzione agli estremi:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 31|mencuccini}}</ref>
 
:<math>\int_{A}^{B} \mathbf E_0 \cdot \operatornamemathop{\mathrm{d}\mathbf l} = V_0(A) - V_0(B)</math>
 
=== Equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico nel vuoto ===
dove con <math>\nabla^{2}</math> si indica l'operatore differenziale [[laplaciano]]. La soluzione dell'equazione di Poisson è unica se sono date le condizioni al contorno. In particolare, un potenziale che soddisfi l'equazione di Poisson e che sia nullo a distanza infinita dalle sorgenti del campo coincide necessariamente con il [[potenziale elettrico]],<ref name=pot>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 108|mencuccini}}</ref> dato dall'espressione:
 
:<math>V_0(\mathbf r) = \frac {1} {4\pi \varepsilon_0} \int_{v} \frac {\rho(x',y',z')} {|\mathbf r - \mathbf r'|}\mathop{\mathrm dx}'} \mathop{\mathrm dy}'} \mathop{\mathrm dz}'} \ </math>
 
In assenza di cariche sorgenti del campo l'equazione diventa omogenea, e prende il nome di [[equazione di Laplace]]:
===== Condizioni al contorno di Dirichlet =====
{{vedi anche|Condizioni al contorno di Dirichlet}}
In questo caso non sono presenti cariche localizzate, ed il campo elettrostatico è generato da un sistema di [[conduttore elettrico|conduttori]] di geometria nota e potenziale noto. In questo caso vale l'equazione di Laplace, dove le condizioni al contorno sono che il potenziale sia nullo all'infinito e valga <math>V_{0i}</math> sulla superficie dei conduttori. Una volta ricavati i potenziali per ogni punto nello spazio risolvendo l'equazione di Laplace, si ricava il campo elettrostatico, ed è possibile determinare la densità di carica superficiali <math>\sigma_i</math> sui conduttori mediante il [[teorema di Coulomb]].<ref name=pot/> Infine, si può trovare la carica netta totale su tutti i conduttori e i coefficienti di capacità su questi tramite il seguente sistema:<ref name=cond>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 109|mencuccini}}</ref>, che consente di ricavare i coefficienti.
 
:<math>\begin{cases} Q_1 = c_{11} V_{01} + c_{12} V_{02} + \ldotscdots + c_{1n} V_{0n} \\ Q_2 = c_{21} V_{01} + c_{22} V_{02} + \ldotscdots + c_{2n} V_{0n} \\ \ldots \\ \ldotsvdots \\ Q_n = c_{n1} V_{01} + c_{n2} V_{02} + \ldotscdots + c_{nn} V_{0n} \end{cases}</math>
 
che consente di ricavare i coefficienti.
 
===== Condizioni al contorno di Neumann =====
Inserendo il vettore di induzione elettrica nelle equazioni di Maxwell nei materiali, considerando il caso in cui il dielettrico sia perfetto e [[isotropia|isotropo]] e ponendo che anche per il campo magnetico nei materiali sussista una relazione di linearità, si ha:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 458|mencuccini}}</ref><ref name=max>{{Cita|Jackson|Pag. 238|Jackson}}</ref>
 
:<math>\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf{D}= \rho</math>\\\\
:<math>\nabla \cdot \mathbf{B}= 0</math>\\\\
:<math>\nabla \times \mathbf{E}=- \fracdfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math>\\\\
:<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + \fracdfrac{ \partial \mathbf{D} }{ \partial t } \\\end{cases}</math>
 
dove <math>\mathbf{H}</math> è il campo magnetico nei materiali, e costituisce l'analogo del vettore induzione elettrica per la [[polarizzazione magnetica]].
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