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:<math> \left( x(t), \, y(t) \right) = a \, \left( \int_0^t \cos \left( \frac{u^2}{2} \right) \text{d}u, \, \int_0^t \sin \left( \frac{u^2}{2} \right) \text{d}u \right)</math>.
== Applicazione nell'ingegneria deidelle trasportiinfrastrutture ==
[[File:Easement Curve.png|thumb|Esempio di [[Curva a raggio variabile|transizione a raggio variabile]] (in rosso) da un tratto rettilineo (in blu) a un tratto a curvatura costante (in verde).]]
{{vedi anche|Curva a raggio variabile}}
La clotoide è una curva di transizione a raggio variabile ed è usata per raccordare:
Un arco di clotoide è usato come un raccordo progressivo, inserito come elemento di transizione:
* tra unUn [[rettifilo]] ed il successivo arco di [[cerchio]] (Clotoide di transizione);
* tra 2 archi di cerchio, l'uno interno all'altro, ma appartenenti a circonferenze non concentriche (clotoideClotoide di continuità);
* tra 2 archi di cerchio, l'uno esterno all'altro e con concavità opposte (clotoideClotoide di flesso).
Nell'[[ingegneria stradale]] si utilizza al fine di contenere il [[contraccolpo]], ossia la variazione di accelerazione trasversale ed il [[rollio]], ossia la rotazione del veicolo dovuta alla rotazione della piattaforma.
Nell'[[ingegneria ferroviaria]], la clotoide è utilizzata nel progetto di [[Curva a raggio variabile|curve a raggio variabile]], utili per evitare il brusco passaggio da una [[curvatura]] nulla (rettifilo con raggio infinito) ad una curvatura data (arco di cerchio con raggio assegnato) e quindi l'insorgere di un contraccolpo che determina una variazione istantanea dell'[[accelerazione centripeta]], dannosa per i cerchioni a contatto con le rotaie e per il comfort dei passeggeri nei vagoni.
Nell'[[ingegneria ferroviaria]], la clotoide è utilizzata per motivazioni simili. In passato era utilizzata la parabola cubica.
Nell'[[ingegneria stradale]] il problema non è dovuto al contraccolpo, ma a una [[Indice di dispersione|dispersione]] delle traiettorie dei veicoli che affrontano la curva. La variazione istantanea di curvatura, infatti, in caso di curva senza raggio di raccordo, dovrebbe essere affrontata con una sterzata istantanea (e ciò è ovviamente impossibile, poiché per ogni movimento è indispensabile un certo tempo e inoltre il conducente non può rendersi conto del tipo di geometria stradale che sta per affrontare); gli ingegneri stradali quindi optano per traiettorie che non determinino problemi di sicurezza stradale.
== Note ==
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