Differenze tra le versioni di "Cinematica relativistica"

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:<math>P = \gamma m_0 v</math>
 
:<math>\frac{dP}{dt} = m_0 v \frac{d\gamma}{dt} + m_0\gamma \frac{dv}{dt} =>\Rightarrow \frac{dP}{dt} = m_0 v \frac{d\gamma}{dt} + m_0\gamma a</math>
 
:<math>F = \gamma m_0 a + m_0 v \frac{d\gamma}{dt} =>\Rightarrow F = m_0 (\gamma a + v \frac{d\gamma}{dt})</math>
 
Svolgiamo quindi il differenziale di <math>\gamma</math>, ma in <math>dv</math> così da poter integrare in un momento successivo:
quindi raccogliamo <math>a \gamma</math>
 
:<math>F = \gamma m_0 a (1 + \frac{v^2}{c^2} \cdot \gamma^2) =>\Rightarrow a_0 = a \gamma (1 + \frac{v^2}{c^2} \cdot \gamma^2)</math>
dividiamo per <math>m_0</math> e sostituiamo la variabile <math>a</math> con <math>\frac{dv}{dt}</math>
:<math>a_0 dt = dv \gamma (1 + \frac{v^2}{c^2} \cdot \gamma^2)</math>
ora esprimiamo il tutto in funzione di v(t)
 
:<math>a_0 t = \frac{v(t)}{\sqrt{1-\frac{v^2(t)}{c^2}}} =>\Rightarrow a_0^2 t^2 = \frac{v^2(t)}{1-\frac{v^2(t)}{c^2}}</math>
 
:<math>(1-\frac{v^2(t)}{c^2})a_0^2 t^2 = v^2(t) =>\Rightarrow a_0^2 t^2 - \frac{a_0^2 t^2}{c^2}\cdot v^2(t) - v^2(t) = 0 =>\Rightarrow v^2(t) (\frac{a_0^2 t^2}{c^2} + 1)= a_0^2 t^2</math>
 
in conclusione