Legge di conservazione dell'energia: differenze tra le versioni

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Considerando un sistema finito si dice [[Forza conservativa|conservativa]] una forza agente su di esso se per il [[Lavoro (fisica)|lavoro]] che compie in un intorno infinitesimo di qualsiasi punto vale il [[teorema di Torricelli]], ovvero esso dipende solo dai suoi estremi di frontiera r e r+dr e non dalla traiettoria infinitesima congiungente effettivamente seguita tra tutte le possibili:
 
: <math> \operatornamemathop{}\! d\mathrm LdL(r) = \int_{r}^{r+\operatornamemathop{}\! dr\mathrm d r} \bar F \cdot \operatornamemathop{}\! \mathrm d\bar r = -U(r+\operatornamemathop{}\! \mathrm dr)+U(r) = -\operatornamemathop{}\! \mathrm dU(r) </math>
 
In questo caso abbiamo che lungo un qualsiasi percorso che abbia inizio e fine in r il lavoro di una forza conservativa è nullo:
 
: <math> \int_r^r \bar F \cdot \operatornamemathop{}\! \mathrm d\bar r = -U(r)+U(r) = 0 </math>
 
Il [[teorema del rotore]] dimostra che se il campo di forze è continuo l'annullarsi della sua circuitazione implica l'annullarsi del suo rotore, quindi è possibile rappresentare la [[forza]] come il [[gradiente]] di uno scalare chiamato [[energia potenziale]]:
Per un [[sistema scleronomo]] inoltre il [[teorema delle forze vive]] afferma che il lavoro di tutte le forze, conservative o meno, è pari alla variazione dell'[[energia cinetica]]:
 
: <math> \operatornamemathrm d L = \operatornamemathrm d K </math>
 
Da cui
 
: <math> -\operatornamemathrm d U = \operatornamemathrm d K </math>
 
E quindi:
 
: <math> \frac {\operatornamemathrm d E}{\operatornamemathrm dt} = 0 </math>
 
dove abbiamo definito energia meccanica la somma <math>E = U+K</math>