Tensore metrico: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], e più precisamente in [[geometria differenziale]], il '''tensore metrico''' è un [[tensorecampo tensoriale]] che caratterizza la geometria di unouna spazio,[[varietà intervenendo(geometria)|varietà]]. Tramite il tensore metrico è possibile definire nellale definizionenozioni di [[distanza (matematica)|distanza]], angolo, lunghezza di una curva, [[geodetica]], [[curvatura]].
Definiamo infatti prodotto scalare tra due vettori la quantità
 
== Definizioni ==
<math>\mathbf{x}\cdot \mathbf{y} = x_{i}g^{ij}y_{j}</math>
=== Prodotto scalare non degenere in ogni punto ===
Un '''tensore metrico''' è un [[campo tensoriale]] <math> g </math> definito su una [[varietà differenziabile]], di tipo <math>(2,0)</math>, [[tensore simmetrico|simmetrico]] e [[prodotto scalare non degenere|non degenere]] in ogni punto.
 
Il tensore definisce quindi in ogni punto un [[prodotto scalare non degenere]] fra i vettori dello [[spazio tangente]] nel punto.
dove <math>g^{ij}</math> è la componente della i-esima riga e la j-esima colonna della matrice rappresentante il tensore metrico, <math>x_{i}</math> ed <math>y_{j}</math> rispettivamente la i-esima componente del vettore x e la j-esima componente del vettore y ed ho usato la [[notazione di Einstein]] secondo cui sugli indici ripetuti si somma; definiamo poi norma di un vettore (o modulo) la quantità
<math>|\mathbf{x}|=(\mathbf{x}\cdot \mathbf{x})^{1/2}=\left(x_i g^{ij} x_j\right)^{1/2}</math>
 
=== Coordinate ===
e distanza tra due vettori la quantità
Il tensore è indicato in coordinate come <math>g_{ij}</math>. Per ogni punto <math> x </math> della varietà, fissato una [[atlante (topologia)|carta]] locale, il tensore in <math> x </math> è rappresentato quindi da una [[matrice simmetrica]] <math>g_{ij}(x)</math> con [[determinante]] diverso da zero. Come tutti i campi tensoriali, la matrice cambia in modo [[funzione differenziabile|differenziabile]] al variare di <math>x</math> all'interno della carta.
 
=== Segnatura ===
<math>d(\mathbf{x},\mathbf{y})=|\mathbf{x}-\mathbf{y}|=((\mathbf{x}-\mathbf{y})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y}))^{1/2}</math>
Poiché il determinante non si annulla mai, la [[segnatura (algebra lineare)|segnatura]] della matrice <math>g_{ij}(x)</math> è la stessa per ogni <math> x </math> se la varietà è [[spazio connesso|connessa]].
 
Se la segnatura è di tipo <math>(n,0)</math>, cioè se il prodotto scalare è ovunque [[prodotto scalare definito positivo|definito positivo]], il tensore induce una [[spazio metrico|metrica]] sulla varietà, che è quindi chiamata [[varietà riemanniana]]. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta [[varietà pseudo-riemanniana|pseudo-riemanniana]].
Vediamo quindi che la distanza dipende dal prodotto scalare, il quale coinvolge al suo interno il tensore <math>g^{ij}</math>, che chiamiamo metrico proprio per le sue implicazioni sul concetto di misura delle distanze.
 
Le varietà riemanniane sono le più studiate in [[geometria differenziale]]. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno [[spazio euclideo]], benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo [[spaziotempo]] nella [[relatività generale]] è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura <math>(3,1)</math>. Una tale varietà è localmente simile allo [[spaziotempo di Minkowski]].
Facciamo alcuni esempi: nello spazio euclideo ad n componenti, cioè quello che normalmente noi rappresentiamo, in cui le rette parallele non si incontrano (cioè vale il [[V postulato di Euclide]]), il tensore metrico altro non è che la matrice identità, cioè
 
== Voci correlate ==
<math>
* [[Tensore]]
g^{ij} = \left(\begin{matrix}
* [[Spazio metrico]]
1 & 0 & ...&0 \\
0 & 1 & ...&0\\
...&...&...&...\\
0 & 0&...&1\end{matrix}\right)</math>
 
ed il prodotto scalare assume quindi la forma che conosciamo bene:
 
<math>\mathbf{x}\cdot \mathbf{y} = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}+ ... +x_{n}y_{n}</math>
 
Nello spazio di Minkowski a quattro dimensioni usato per la relatività speciale, il tensore metrico ha la seguente forma:
 
<math>
g^{\mu\nu} = \left(\begin{matrix}
1 & 0 & 0& 0 \\
0 & -1& 0& 0\\
0 & 0 & -1& 0\\
0 & 0 & 0& -1\end{matrix}\right)</math>
 
ed il prodotto scalare si può scrivere quindi come (indicando con l'indice 0 la componente temporale, e con 1,2,3 le tre componenti spaziali)
 
<math>\mathbf{x}\cdot \mathbf{y} = x_{0}y_{0} - x_{1}y_{1} - x_{2}y_{2} - x_{3}y_{3}</math>
 
Se indichiamo con <math>x^{\mu}</math> la quantità
 
<math>x^{\mu}= g^{\mu\nu}x_{\nu}</math>
 
(in soldoni, il nuovo vettore avrà semplicemente le componenti spaziali cambiate di segno) possiamo scrivere il prodotto scalare come
 
<math>\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= x^{\mu}y_{\mu}\equiv g^{\mu\nu}x_{\nu}y_{\mu}</math>
 
In relatività generale, il tensore metrico non ha una forma semplice come le due viste precedentemente, ma le proprietà geometriche restano e perciò i vettori utilizzano le stesse regole di trasformazione.
 
(Per approfondimenti cfr. [[tensore]])
 
[[Categoria:Geometria differenziale]]
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