Tensore metrico: differenze tra le versioni

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Le varietà riemanniane sono le più studiate in [[geometria differenziale]]. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno [[spazio euclideo]], benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo [[spaziotempo]] nella [[relatività generale]] è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura <math>(3,1)</math>. Una tale varietà è localmente simile allo [[spaziotempo di Minkowski]].
 
== Esempi ==
=== Metrica euclidea ===
Lo [[spazio euclideo]] <math>\R^n</math> è dotato della [[metrica euclidea]], che può essere descritta da un tensore metrico <math>g</math>. Lo spazio tangente di ogni punto è identificato naturalmente con <math>\R^n</math>. Rispetto a questa identificazione, il tensore <math>g</math> è la [[matrice identità]] per ogni punto dello spazio.
 
=== Varietà immersa ===
Sia <math> X </math> una [[varietà differenziabile]] in <math>\R^n</math>. Il tensore metrico euclideo induce un tensore metrico su <math>X</math>: si tratta dello stesso [[prodotto scalare]], ristretto in ogni punto di <math> X </math> al sottospazio dei vettori tangenti a <math>X</math>. Poiché il tensore euclideo è definito positivo, lo è anche il tensore indotto, e quindi ogni varietà immersa in <math>\R^n</math> ha una struttura di [[varietà riemanniana]].
 
Ad esempio, il tensore indotto sulla [[sfera]], scritto in [[coordinate sferiche]] <math>(\theta,\phi)</math>, è dato da
:<math>g = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta\end{array}\right]</math>
e può essere riassunto nella forma
:<math>ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2.</math>
 
=== Spaziotempo di Minkowski ===
Lo [[spaziotempo di Minkowski]] è lo spazio <math>\R^4</math> dotato del tensore
:<math>g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \ </math>
che può essere riassunto nella forma
:<math>ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2.</math>
 
== Indici di un tensore ==
=== Tensore di tipo <math>(0,2)</math> ===
Al tensore metrico <math>g_{ij}</math> è associato un analogo tensore di tipo <math>(0,2)</math>, denotato con la stessa lettera ma con gli indici in alto <math>g^{ij}</math>. Il tensore è definito in coordinate come la [[matrice inversa]] di <math>g_{ij}</math> (questa definizione non dipende dalla scelta delle coordinate; in alcuni contesti si effettua anche la [[matrice trasposta|trasposta]]). Questo tensore è detto a volte ''tensore metrico coniugato''. La relazione fra i due tensori può essere scritta nel modo seguente:
:<math>g_{\nu \mu} g^{\mu \gamma} = \delta_\nu^\gamma \,</math>
scritta con la [[notazione di Einstein]], dove il tensore <math>\delta</math> è la [[delta di Kronecker]] definita da
:<math>\delta_\nu^\gamma = \begin{cases} 1 & \mathrm{se} \ \nu=\gamma \\ 0 & \mathrm{altrimenti} \end{cases} \,</math>
 
=== Alzamento e abbassamento di indici ===
Un tensore metrico, oltre ad introdurre concetti geometrici come lunghezze e angoli, permette di semplificare alcune notazioni e strutture. Tramite il tensore è possibile identificare gli [[spazio tangente|spazi tangente]] e [[spazio cotangente|cotangente]] di una varietà.
 
Più in generale, il tensore metrico può essere utilizzato per "abbassare" o "alzare" gli indici a piacimento in un tensore, trasformando ad esempio vettori in covettori e viceversa. Questo viene fatto [[contrazione di un tensore|contraendo]] opportunamente con i tensori <math> g_{ij} </math> e <math> g^{ij}</math>. Ad esempio, un vettore <math> A^\mu </math> viene trasformato in un covettore
:<math>A_\nu = g_{\nu \mu} A^\mu. \,</math>
Alternativamente,
:<math>A^\mu = g^{\mu \gamma} A_\gamma. \,</math>
 
== Voci correlate ==
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