Disco di Poincaré: differenze tra le versioni

Il disco di Poincaré, con la usuale metrica euclidea, non è uno [[spazio completo]]. Infatti uno spazio completo in <math>\R^n</math> è necessariamente [[insieme chiuso|chiuso]]. In particolare, esistono delle [[successione di Cauchy|successioni di Cauchy]] convergenti al bordo del disco, ad esempio.

Il disco di Poincaré con la metrica iperbolica qui introdotta è però completo. Questo è dovuto al fatto che il fattore di riscalamento della metrica tende a infinito quando il punto tende al bordo del disco: conseguentemente, non esistono successioni di Cauchy tendenti al bordo per la metrica iperbolica. Ad esempio, la successione <math>a_n</math> non è di Cauchy.