Equazioni di Eulero-Lagrange: differenze tra le versioni

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→‎Meccanica: Migliorata la spiegazione e esplicitata la validità solo per sistemi conservativi
→‎Sistemi meccanici conservativi: Cappellointroduttivo della dimostrazione
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Si può dimostrare che delle equazioni di Eulero-Lagrange possono descrivere la dinamica dei sistemi meccanici ''conservativi'' in modo identico al secondo principio della dinamica di Newton, mentre ciò non è vero per i sistemi non conservativi. Lo studio dei sistemi meccanici conservativi in termini di equazioni di Eulero-Lagrange viene chiamato [[meccanica lagrangiana]] (studiato conoscendo la Lagrangiana del sistema), per distinguerlo dalla meccanica newtoniana studiata con il [[secondo principio della dinamica]] (conoscendo cioè le componenti delle forze agenti sul sistema). In tale contesto le equazioni si chiamano usualmente ''equazioni di Lagrange'', in quanto la loro giustificazione fisica è stata compiuta da Lagrange solo. Il vantaggio della meccanica lagrangiana è che in un parametro scalare (la lagrangiana) sono riassunte tutte le proprietà del sistema conservativo, mentre nella meccanica newtoniana servono molti parametri scalari: le componenti di tutte le azioni esterne.
 
Nello studio di un sistema meccanico <math>{x}^\lambda</math> e <math>\dot {x}^\lambda</math> vengono fatti coincidere rispettivamente con le [[coordinate generalizzate|coordinate]] <math>{q}^\lambda</math> e le velocità generalizzate <math>\dot {q}^\lambda</math>, e le equazioni di Eulero-Lagrange determinano la loro variazione in funzione del tempo, ovvero l'[[Legge oraria|evoluzione del sistema]]. Si dimostra brevemente qui di seguito la validità della meccanica lagrangiana per sistemi conservativi discreti a massa costante.
 
Per il secondo principio della dinamica la forza risultante sul sistema è la derivata temporale della [[quantità di moto]], quindi si osserva che la [[forza generalizzata]] i-esima vale:
 
:<math>Q_i= \sum_{nF = 1}^N \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} (m_nm \mathbf {\dot x}_n) \cdot \frac{\partial \mathbf x_n}{\partial q_i} </math>
 
passando in coordinate generalizzate, la [[forza generalizzata]] i-esima vale:
 
:<math>Q_i= \sum_{n = 1}^N \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} (m_n \mathbf {\dot x}_n) \cdot \frac{\partial \mathbf x_n}{\partial q_i}
 
= \sum_{n = 1}^N \left (\sum_{j = 1}^I \frac{\partial (m_n \mathbf {\dot x}_n)}{\partial q_j}\dot q_j + \frac{\partial (m_n \dot {\mathbf x}_n)}{\partial t} \right ) \cdot \frac{\partial x_n}{\partial q_i}
 
= \sum_{n = 1}^N \left (\sum_{j = 1}^I m_n \frac{\partial \mathbf {\dot x}_n}{\partial q_j}\dot q_j + m_n \frac{\partial \dot {\mathbf x}_n}{\partial t} + \mathbf {\dot x}_n \frac{\partial m_n}{\partial t} \right ) \cdot \frac{\partial \mathbf x_n}{\partial q_i} </math>
 
Le [[derivate parziali]] dell'[[Coordinate_generalizzate#Energia_cinetica_in_coordinate_generalizzate|energia cinetica]] <math>T</math> rispetto alle velocità (detta quantità di moto generalizzata) e le corrispondenti [[coordinate generalizzate]] di un sistema costituito da <math>N</math> [[Corpo (fisica)|sottosistemi]] e a <math>I</math> [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]] sono:
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:<math>\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i}- \frac{\partial T}{\partial q_i}= \sum_{j = 1}^I \frac{(\partial H_{ij}T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} \dot q_j + \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left [ \sum_{j = 1}^I (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)} \dot q_j + (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)} \right ] </math>
 
Per il secondo principio della dinamica la forza risultante è la derivata temporale della [[quantità di moto]], quindi si osserva che la [[forza generalizzata]] i-esima vale:
 
:<math>Q_i= \sum_{n = 1}^N \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} (m_n \mathbf {\dot x}_n) \cdot \frac{\partial \mathbf x_n}{\partial q_i}
 
= \sum_{n = 1}^N \left (\sum_{j = 1}^I \frac{\partial (m_n \mathbf {\dot x}_n)}{\partial q_j}\dot q_j + \frac{\partial (m_n \dot {\mathbf x}_n)}{\partial t} \right ) \cdot \frac{\partial x_n}{\partial q_i}
 
= \sum_{n = 1}^N \left (\sum_{j = 1}^I m_n \frac{\partial \mathbf {\dot x}_n}{\partial q_j}\dot q_j + m_n \frac{\partial \dot {\mathbf x}_n}{\partial t} + \mathbf {\dot x}_n \frac{\partial m_n}{\partial t} \right ) \cdot \frac{\partial \mathbf x_n}{\partial q_i} </math>
 
Se ciascuna parte del sistema ha massa costante si ha: