Differenze tra le versioni di "Teorema fondamentale del calcolo integrale"

→‎Seconda parte: Aggiunto nuova parte sulla relazione fra i due teoremi
(Corretto un grosso frantendimento. Il secondo teorema fondamentale non è una conseguenza del primo e non dipende dalla continuità dell'integranda. Fornita una dimostrazione del teorema corretto e ricollocata la precedente come corollario del primo teorema)
(→‎Seconda parte: Aggiunto nuova parte sulla relazione fra i due teoremi)
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== Relazione fra i due teoremi ==
Dal secondo teorema se
<math> G'(t)=f(t) </math> su <math> [a,b]</math>, se <math>f</math> è integrabile, allora per ogni <math>x \in [a,b]</math>
:<math> \int_a^x f(t)dt=G(x)-G(b)</math>
Definiamo
:<math>F(x)= \int_a^x f(t)dt=G(x)-G(b)</math>
Poiché <math>F</math> è somma di funzioni derivabili F'(x)=G'(x) ma G'(x)=f(x) quindi F'(x)=f(x), quindi se assumiamo addizionalmente l'ipotesi di continuità di <math>f</math> si deriva precisamente il primo teorema dal secondo e dalle proprietà basilari della derivata.
 
Viceversa il primo teorema fondamentale del calcolo ha un ipotesi in più del secondo (la continuità di <math>f</math>), dunque questo non può seguire (nel suo caso generale) dall'altro.
 
== Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue ==
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