Differenze tra le versioni di "Disposizione"

evitare "pari a" visto che in matematica pari è un termine tecnico
(evitare "pari a" visto che in matematica pari è un termine tecnico)
 
== Disposizioni semplici ==
Il numero di disposizioni semplici, denotate con il simbolo <math>D_{n, k},</math> di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k</math> è pari a:
 
:<math>D_{n, k} = n(n-1)(n-2) \cdot \cdot \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}.</math>
:<math>D_{n,k} = n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)</math>
 
ovvero un prodotto di ''k'' fattori, ciascuno pariuguale a ''n'' diminuito via via di 0, 1, ..., (''k''-1). Moltiplicando e dividendo tale prodotto per (''n''-''k'')!, si ottiene la formula data sopra:
 
:<math>\begin{align}D_{n,k} &= n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)\\&= \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)(n-k)(n-k-1)\cdots 1}{(n-k)(n-k-1)\cdots 1}\\&=\frac{n!}{(n-k)!}\end{align}</math>
 
== Disposizioni con ripetizione ==
Il numero di disposizioni con ripetizione, denotate con il simbolo <math>D^'_{n, k},</math> di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k</math> è pari a:
:<math>D^'_{n, k} = n^k.</math>
 
<br>[[File:Funzioni2-4.png|center|upright=3.2|miniatura|<div style="text-align:center">Fig. 4: funzioni di 2 elementi in 4 elementi</div>]]<br>
 
Generalizzando, se con ''A'' denotiamo un [[insieme]] finito di [[cardinalità]] ''k'' e con ''B'' un insieme finito di cardinalità ''n'', il numero totale di funzioni ''f'': ''A'' → ''B'', iniettive o suriettive che siano, sarà pariuguale a n<sup>k</sup> in conformità con la formula delle disposizioni con ripetizione che ci proponevamo di dimostrare:
 
:<math>D^'_{n, k} = n^k.</math>
I numeri composti da due cifre (00, 01, ..., 09, 10, 11, ..., 19, 20, 21, 22, ...., 99) sono quelli che si ottengono dalle disposizioni con ripetizione di 10 elementi (i numeri da 0 a 9) presi a 2 a 2: quindi in totale sono 10<sup>2</sup>=100 come d'altronde si può verificare direttamente.
 
Il numero delle possibili colonne del [[totocalcio]] composte da tredici pronostici scelti fra tre elementi (1, X o 2) è pariuguale a 3<sup>13</sup> = 1.594.323. In questo caso k>n essendo k=13 ed n=3 a conferma del fatto che nelle disposizioni con ripetizione il numero di posti k può essere qualunque indipendentemente da n.
 
== Permutazione: caso particolare di disposizione semplice ==
:<math>D_{n,n} = \frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{1}=n!</math>
 
pariuguale proprioal allenumero di [[Permutazione|permutazioni]] di n elementi.
 
D'altronde ciò è ovvio se si ricorre all'esempio dell'estrazione delle lettere da un sacchetto: le permutazioni possono essere viste come le estrazioni delle lettere con la condizione che vengano effettuate tante estrazioni quante sono le lettere stesse, fino ad esaurimento, senza che ce ne rimangano delle altre nel sacchetto.