Disposizione: differenze tra le versioni

Nel [[calcolo combinatorio]], se ''<math>n''</math> e ''<math>k''</math> sono due numeri [[numero intero|interi]] non negativi, si definisce '''disposizione''' di ''<math>n''</math> elementi a ''<math>k''</math> a ''<math>k''</math> (oppure di ''<math>n''</math> elementi di classe ''<math>k'',</math> oppure di ''<math>n''</math> elementi presi ''<math>k''</math> alla volta) ogni sottoinsieme ''ordinato'' di ''<math>k''</math> elementi estratti da un insieme di ''<math>n''</math> elementi tale che i sottoinsiemi differiscono se presentano qualche elemento diverso oppure se presentano gli stessi elementi ma ordinati diversamente. Talvolta ''<math>k''</math> viene chiamato ''numero di posti'' e la disposizione di ''<math>n''</math> elementi in ''<math>k''</math> posti viene chiamata ''<math>k''</math>-disposizione.

Generalizzando, se le lettere in totale sono ''<math>n''</math> e le estrazioni da effettuare sono ''<math>k'',</math> si nota che si parte con una probabilità <math>n</math> per la prima lettera estratta, si scende a <math>n-1</math> per la seconda lettera estratta e così via fino ad arrivare a <math>n-k+1</math> per la <math>k</math>-maesima lettera estratta. Ripetendo il ragionamento fatto sopra avremo:

:<math>D_{n,k} = n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1),</math>

ovverocioè un prodotto di ''<math>k''</math> fattori, ciascuno uguale a ''<math>n''</math> diminuito via via di <math>0, 1, ...\ldots, (''k''-1).</math> Moltiplicando e dividendo tale prodotto per <math>(''n''-''k'')!,</math> si ottiene la formula data sopra:

:<math>\begin{align}D_{n,k} &= n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)\\&= \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)(n-k)(n-k-1)\cdots 1}{(n-k)(n-k-1)\cdots 1}\\&=\frac{n!}{(n-k)!}.\end{align}</math>

È da notare infine che quando viene estratta una lettera dal sacchetto, '''quest'ultima non viene rimessa dentro''': questo fatto garantisce che la stessa lettera non può essere estratta più volte e che quindi non ci possono essere elementi ripetuti nel sottoinsieme estratto in conformità alla definizione di disposizione semplice. L'esempio del sacchetto spiega anche '''perché deve risultare necessariamente k≤n'''<math>k\le n</math>: al massimo possono essere effettuate n estrazioni, dopodiché non rimangono altre lettere nel sacchetto da poter estrarre.

Oltre che ricorrendo all'estrazione delle lettere da un sacchetto, per ottenere il numero di disposizioni di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k</math> si può ricorrere all'utilizzo delle funzioni iniettive e in particolare alla '''determinazione del numero totale di tutte le funzioni iniettive aventi per dominio un insieme di cardinalità <math>k</math> e per codominio un insieme di cardinalità <math>n'''.</math>

Una [[funzione iniettiva]] è una legge che associa a ogni elemento del dominio un differente elemento del codominio. Considerando il caso di un dominio e di un codominio costituiti da due insiemi di elementi, ciò significa che da ogni elemento del dominio parte una sola linea di associazione (questo fatto è sempre vero per la definizione stessa di funzione sia essa iniettiva, suriettiva o biiettiva) e che su ogni elemento del codominio '''arriva una sola linea di associazione'''. Nel caso di [[Funzione suriettiva|funzioni suriettive]], fermo restando che da ogni elemento del dominio parte una sola linea, capita invece che su uno o più elementi del codominio arrivi più di una linea di associazione.

Per fissare le idee supponiamo di considerare le funzioni iniettive di 1 elemento in 4 elementi: in totale saranno solo 4 tali funzioni rappresentate tutte nella fig.figura 1. Indichiamo con '''|''F''₁|=4''' il numero totale di tali funzioni dove il pedice 1 sta a ricordare che il dominio è costituito da un solo elemento.

Le funzioni iniettive di 2 elementi in 4 elementi sono in totale 12: in fig. 2 sono riportati due diversi esempi delle 12 funzioni possibili. Da notare che nel passaggio dalle funzioni iniettive di 1 in 4 a quelle di 2 in 4 si è passati da 4 funzioni possibili a 12 funzioni possibili: ciò si spiega con il fatto che a ciascuna delle funzioni di 1 in 4 (ad esempio la 1-A di fig. 1) è come se si fosse aggiunto un altro elemento al dominio (ad esempio l'elemento "2") e da questo è possibile far partire 3 diverse associazioni (2-B, 2-C e 2-D). Ciò porta il totale a 4x3=12. Indichiamo con '''|''F''₂|=|''F''₁|x(4-1)=4x3=12''' il numero totale di tali funzioni dove il pedice 2 a primo membro e il pedice 1 a secondo membro stanno a ricordare che il dominio è costituito rispettivamente da due elementi e da un elemento conformemente alla nostra esposizione.

Ripetendo il ragionamento, le funzioni iniettive di 3 in 4 elementi sono in totale 24: in figura 3 sono riportati due diversi esempi delle 24 funzioni possibili. Da notare che nel passaggio dalle funzioni iniettive di 2 in 4 a quelle di 3 in 4 si è passati da 12 funzioni possibili a 24 funzioni possibili: ciò si spiega con il fatto che a ciascuna delle funzioni di 2 in 4 (ad esempio la 1-A, 2-B di fig. 2) è come se si fosse aggiunto un altro elemento al dominio (ad esempio l'elemento "3") e da questo è possibile far partire 2 diverse associazioni (3-C e 3-D). Ciò porta il totale a 12x2=24. Indichiamo con '''|''F''₃|=|''F''₂|x(4-2)=12x2=24''' il numero totale di tali funzioni dove il pedice 3 a primo membro e il pedice 2 a secondo membro stanno a ricordare che il dominio è costituito rispettivamente da tre elementi e da due elementi conformemente alla nostra esposizione.

Generalizzando, siano ''<math>A''</math> un [[insieme]] finito di [[cardinalità]] ''<math>k''</math> e ''<math>B''</math> un insieme finito di cardinalità ''<math>n'',</math> con <math>0 ≤\le ''k''\le ≤ ''n''.</math> Sia inoltre ''F''<submath>kF_k</submath> l'insieme delle [[funzione iniettiva|funzioni iniettive]] ''<math>f'':\colon ''A''\to → ''B''.</math> Vale la seguente [[relazione di ricorrenza|ricorrenza]]:

:<math>\begin{align}|F_k|&=(n-k+1)|F_{k-1}|\\&=(n-k+1)(n-k+2)\cdots(n-1)|F_1|\\&=(n-k+1)(n-k+2)\cdots(n-1)(n)=\frac{n!}{(n-k)!},\end{align}</math>

A tale proposito supponiamo di mettere in un sacchetto le 4 lettere A, B, C e D e di volerne estrarre 3 a caso. La prima lettera che andremo ad estrarre sarà indifferentemente una delle 4 e quindi avremo 4 possibilità di estrazione. Ora però, prima di procedere all'estrazione della seconda lettera, '''rimettiamo nel sacchetto la lettera che abbiamo appena estratto'''. Anche la seconda lettera che andremo ad estrarre sarà indifferentemente una delle 4 e quindi avremo nuovamente 4 possibilità di estrazione: tra l'altro può capitare che la seconda lettera estratta sia la stessa della prima, che quindi ci sia la '''ripetitività''', essendo ripartiti con tutte le lettere nel sacchetto. Ancora una volta rimettiamo nel sacchetto la lettera appena estratta. Infine, anche la terza lettera che andremo ad estrarre sarà indifferentemente una delle 4 e quindi avremo nuovamente 4 possibilità di estrazione. Se moltiplichiamo tutte le possibilità fra loro avremo 4x4x4=4³=64 possibili gruppi, vale a dire le ''64 possibili disposizioni con ripetizione'' di 4 elementi presi a 3 a 3.

Generalizzando, se le lettere sono ''<math>n''</math> e le estrazioni da effettuare sono ''<math>k'',</math> si nota che, avendo cura di rimettere la lettera estratta nel sacchetto, si riparte ogni volta con una probabilità di <math>1/n</math> indipendentemente se si tratta della prima, seconda, terza estrazione e così via. Il numero di disposizioni con ripetizione sarà dato dal prodotto di ''<math>n''</math> per sesé stesso ''<math>k''</math> volte (''nxnxnx...xn''). Da ciò deriva la formula:

Oltre che ricorrendo all'estrazione delle lettere da un sacchetto, per ottenere il numero di disposizioni con ripetizione di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k</math> si può ricorrere all'utilizzo delle funzioni e in particolare alla '''determinazione del numero totale di tutte le funzioni siano esse iniettive o suriettive''' aventi per dominio un insieme di cardinalità <math>k</math> e per codominio un insieme di cardinalità <math>n.</math>

Per fissare le idee supponiamo di considerare le funzioni di 1 elemento in 4 elementi: poiché c'è una sola linea di associazione che parte dall'unico elemento presente nel dominio e poiché tale linea non può che finire in un unico elemento dei 4 presenti nel codominio, non si verificherà mai per questa condizione di avere a che fare con funzioni suriettive le quali, come detto sopra, richiedono che almeno un elemento del codominio sia interessato da almeno due linee di associazione. Pertanto anche nel caso delle disposizioni con ripetizione varrà la fig.figura 1 essendo le funzioni di 1 in 4 sempre di tipo iniettivo. Quindi le disposizioni semplici di 4 elementi a 1 a 1 e quelle con ripetizione di 4 elementi a 1 a 1 si identificano fra di loro, anche perché è impossibile avere delle ripetizioni se si è in presenza di un solo elemento.

Passiamo ora a considerare le funzioni di 2 elementi in 4 elementi: la fig.figura 4 illustra tutte le 16 funzioni di tale tipo, siano esse iniettive o suriettive. In particolare si può notare come la situazione di suriettività dia vita alla ripetitività degli elementi del codominio che contraddistingue a sua volta le disposizioni con ripetizione: ad esempio la (1) didella fig.figura 4 determina la disposizione AA mentre la (8) determina la disposizione BB.

Generalizzando, se con ''<math>A''</math> denotiamo un [[insieme]] finito di [[cardinalità]] ''<math>k''</math> e con ''<math>B''</math> un insieme finito di cardinalità ''<math>n'',</math> il numero totale di funzioni ''<math>f'':\colon ''A''\to → ''B'',</math> iniettive o suriettive che siano, sarà uguale a n<supmath>n^k</supmath> in conformità con la formula delle disposizioni con ripetizione che ci proponevamo di dimostrare:

I numeri composti dadi due cifre (00, 01, ..., 09, 10, 11, ..., 19, 20, 21, 22, ...., 99) sono quelli che si ottengono dalle disposizioni con ripetizione di 10 elementi (i numeri da 0 a 9) presi a 2 a 2: quindi in totale sono 10²=100 come d'altronde si può verificare direttamente.

Il numero delle possibili colonne del [[totocalcio]] composte da tredici pronostici scelti fra tre elementi (1, X o 2) è uguale a 3¹³ = 1.594.323. In questo caso <math>k>n</math> essendo <math>k=13</math> ede <math>n=3</math> a conferma del fatto che nelle disposizioni con ripetizione il numero di posti <math>k</math> può essere qualunque indipendentemente da <math>n.</math>

Si può notare che c'è una relazione tra le disposizioni semplici e le permutazioni. Infatti nel caso in cui <math>k</math> sia uguale a <math>n</math> si ha:

:<math>D_{n,n} = \frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{1}=n!,</math>

che è uguale al numero di [[Permutazione|permutazioni]] di <math>n</math> elementi.