Mediana (statistica): differenze tra le versioni
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Una proprietà della mediana è di rendere minima la somma dei valori assoluti degli scarti delle <math>x_i</math> da un generico valore
::<math> \sum_{i=1}^N \left|x_i-Me\right| \leq \sum_{i=1}^N \left|x_i-c\right| \;\;\; \forall c</math>
Infatti, sia <math>X</math> la [[variabile aleatoria]] alla quale si riferiscono le osservazioni <math>x_i</math>. Per la linearità del [[valore atteso]] e dell'[[derivata|operatore di derivazione]] si ha
::<math> \frac{d}{dc} \mathbb{E}[\left|X-c\right|] = \mathbb{E}\left[ \frac{d}{dc} \left|X-c\right| \right] = \mathbb{E}\left[-\sgn(X-c)\right]</math>
dove <math>\sgn(X-c)</math> è la [[funzione segno]] di <math>X-c</math>. Per la definizione di valore atteso
::<math> \frac{d}{dc} \mathbb{E}[\left|X-c\right|] = 1\cdot P(X<c) - 1\cdot P(X>c) </math>
dove <math>P(X<c)</math> indica la [[probabilità]] che <math>X</math> sia minore di <math>c</math> e <math>P(X>c)</math> quella che <math>X</math> sia maggiore di <math>c</math>. Per le proprietà di normalizzazione della probabilità, cioè <math>P(X>c)=1-P(X<c)</math>, l'equazione diventa
::<math> \frac{d}{dc} \mathbb{E}[\left|X-c\right|] = P(X<c) - (1 - P(X<c)) = 2P(X<c)-1. </math>
Quindi
::<math> \frac{d}{dc} \mathbb{E}[\left|X-c\right|] = 0\quad\Rightarrow\quad P(X<c)=\frac{1}{2} </math>
cioè <math>c</math> è la mediana.
==Esempio==
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