Differenze tra le versioni di "Disposizione"

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== Disposizioni semplici ==
Il numero di disposizioni semplici, denotate con il simbolo <math>D_{n, k},</math> di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k</math> è dato da:
 
:<math>D_{n, k} = n(n-1)(n-2) \cdot \cdot \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}.</math>
Tra di esse ritroviamo anche ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA: pur essendo disposizioni costituite dagli stessi elementi esse sono da considerarsi differenti perché ordinate diversamente in conformità alla stessa definizione di disposizione.
 
Generalizzando, se le lettere in totale sono <math>n</math> e le estrazioni da effettuare sono <math>k,</math> si nota che si parte con una probabilità <math>n</math> possibilità di estrazione per la prima lettera estratta, si scende a <math>n-1</math> per la seconda lettera estratta e così via fino ad arrivare a <math>n-k+1</math> per la <math>k</math>-esima lettera estratta. Ripetendo il ragionamento fatto sopra avremo:
 
:<math>D_{n,k} = n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1),</math>
 
cioè unil prodotto di <math>k</math> fattori, ciascuno uguale aad <math>n</math> diminuito via via di <math>0, 1, \ldots, (k-1).</math> Moltiplicando e dividendo tale prodotto per <math>(n-k)!,</math> si ottiene la formula data sopra:
 
:<math>\begin{align}D_{n,k} &= n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)\\&= \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)(n-k)(n-k-1)\cdots 1}{(n-k)(n-k-1)\cdots 1}\\&=\frac{n!}{(n-k)!}.\end{align}</math>
 
=== Funzioni iniettive ===
Oltre che ricorrendo all'estrazione delle lettere da un sacchetto, per ottenere il numero di disposizioni di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k</math> si può ricorrere all'utilizzo delle funzioni iniettive e in particolare alla ''determinazione del numero totale di tutte le funzioni iniettive'' aventi per dominio un insieme di cardinalità <math>k</math> e per codominio un insieme di cardinalità <math>n.</math>
 
Una [[funzione iniettiva]] è una legge che associa a ogni elemento del dominio un differente elemento del codominio. Considerando il caso di un dominio e di un codominio costituiti da due insiemi di elementi, ciò significa che da ogni elemento del dominio parte una sola linea di associazione (questo fatto è sempre vero per la definizione stessa di funzione sia essa iniettiva, suriettiva o biiettiva) e che su ogni elemento del codominio arriva una sola linea di associazione. Nel caso di [[Funzione suriettiva|funzioni suriettive]], fermo restando che da ogni elemento del dominio parte una sola linea, capita invece che su uno o più elementi del codominio arrivi più di una linea di associazione.
Per fissare le idee supponiamo di considerare le funzioni iniettive di 1 elemento in 4 elementi: in totale saranno solo 4 tali funzioni rappresentate tutte nella figura 1. Indichiamo con |''F''<sub>1</sub>|=4 il numero totale di tali funzioni dove il pedice 1 sta a ricordare che il dominio è costituito da un solo elemento.
<br>[[File:Iniettiva1-4.png|center|upright=4.0|miniatura|<div style="text-align:center">Fig. 1: funzioni di un elemento in un insieme di 4 elementi</div>]]<br>
Le funzioni iniettive di 2 elementi in 4 elementi sono in totale 12: in fig. 2 sono riportati due diversi esempi delle 12 funzioni possibili. Da notare che nel passaggio dalle funzioni iniettive di 1 in 4 a quelle di 2 in 4 si è passati da 4 funzioni possibili a 12 funzioni possibili: ciò si spiega con il fatto che a ciascuna delle funzioni di 1 in 4 (ad esempio la 1-A di fig. 1) è come se si fosse aggiunto un altro elemento al dominio (ad esempio l'elemento "2") e da questocui è possibile far partire 3 diverse associazioni (2-B, 2-C e 2-D). Ciò porta il totale a 4x3=12. Indichiamo con |''F''<sub>2</sub>|=|''F''<sub>1</sub>|x(4-1)=4x3=12 il numero totale di tali funzioni dove il pedice 2 a primo membro e il pedice 1 a secondo membro stanno a ricordare che il dominio è costituito rispettivamente da due elementi e da un elemento conformemente alla nostra esposizione.
<br>[[File:Iniettiva2-4.png|center|upright=3.2|miniatura|<div style="text-align:center">Fig. 2: esempi di funzioni iniettive di due elementi in un insieme di 4 elementi</div>]]<br>
Ripetendo il ragionamento, le funzioni iniettive di 3 in 4 elementi sono in totale 24: in figura 3 sono riportati due diversi esempi delle 24 funzioni possibili. Da notare che nel passaggio dalle funzioni iniettive di 2 in 4 a quelle di 3 in 4 si è passati da 12 funzioni possibili a 24 funzioni possibili: ciò si spiega con il fatto che a ciascuna delle funzioni di 2 in 4 (ad esempio la 1-A, 2-B di fig. 2) è come se si fosse aggiunto un altro elemento al dominio (ad esempio l'elemento "3") e da questocui è possibile far partire 2 diverse associazioni (3-C e 3-D). Ciò porta il totale a 12x2=24. Indichiamo con |''F''<sub>3</sub>|=|''F''<sub>2</sub>|x(4-2)=12x2=24 il numero totale di tali funzioni dove il pedice 3 a primo membro e il pedice 2 a secondo membro stanno a ricordare che il dominio è costituito rispettivamente da tre elementi e da due elementi conformemente alla nostra esposizione.
<br>[[File:Iniettiva3-4.png|center|upright=3.2|miniatura|<div style="text-align:center">Fig. 3: esempi di funzioni iniettive di tre elementi in un insieme di 4 elementi</div>]]<br>
Generalizzando, siano <math>A</math> un [[insieme]] finito di [[cardinalità]] <math>k</math> e <math>B</math> un insieme finito di cardinalità <math>n,</math> con <math>0 \le k\le n.</math> Sia inoltre <math>F_k</math> l'insieme delle [[funzione iniettiva|funzioni iniettive]] <math>f\colon A\to B.</math> Vale la seguente [[relazione di ricorrenza|ricorrenza]]:
:<math>\begin{align}|F_k|&=(n-k+1)|F_{k-1}|\\&=(n-k+1)(n-k+2)\cdots(n-1)|F_1|\\&=(n-k+1)(n-k+2)\cdots(n-1)(n)=\frac{n!}{(n-k)!},\end{align}</math>
 
essendo in generale <math>|F_1|=n</math> in conformità con l'esempio sopra delle funzioni di 1 in 4 dove <math>|F_1|=4</math> avendosiessendo nella fattispecie <math>n=4.</math> Siamo così giunti alla conclusione enunciata sopra che il numero di funzioni iniettive di un insieme di cardinalità <math>k</math> in un insieme di cardinalità <math>n</math> si identifica con quello delle disposizioni semplici di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k.</math>
 
Il numero delle funzioni iniettive di un insieme di cardinalità <math>k</math> in uno di cardinalità <math>n</math> si indica anche col simbolo:
 
== Disposizioni con ripetizione ==
Il numero di disposizioni con ripetizione, denotate con il simbolo <math>D^'_{n, k},</math> di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k</math> è dato da:
 
:<math>D^'_{n, k} = n^k.</math>
:DCA DCB DCC DCD DDA DDB DDC DDD
 
Come si può vedere diversi gruppi presentano elementi ripetuti e anche qui,: per esempio, le disposizioni AAB e BAA sono considerate differenti in quanto pur avendo gli stessi elementi (la lettera A che si ripete due volte e la lettera B) esse sono ordinate diversamente.
 
Generalizzando, se le lettere sono <math>n</math> e le estrazioni da effettuare sono <math>k,</math> si nota che, avendo cura di rimettere la lettera estratta nel sacchetto, si riparte ogni volta con tutte le lettere nel sacchetto indipendentemente se si tratta della prima, seconda, terza estrazione e così via. Il numero di disposizioni con ripetizione è dato dal prodotto di <math>n</math> per sé stesso <math>k</math> volte., Dada cui la formula:
 
:<math>D^'_{n, k} = n^k.</math>
 
Si che, aA differenza delle disposizioni semplici, nelle disposizioni con ripetizione ''non vale il vincolo'' <math>k \le n</math>: poiché ogni volta si rimette nel sacchetto la lettera appena estratta, non c'è il rischio che esse si esauriscano come capita invece nelle disposizioni semplici in cui, dopo <math>n</math> estrazioni, non rimangono nel sacchetto più lettere da poter estrarre.
 
=== Funzioni iniettive e suriettive ===
Oltre che ricorrendo all'estrazione delle lettere da un sacchetto, per ottenere il numero di disposizioni con ripetizione di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k</math> si può ricorrere all'utilizzo delle funzioni e in particolare alla ''determinazione del numero totale di tutte le funzioni siano esse iniettive o suriettive'' aventi per dominio un insieme di cardinalità <math>k</math> e per codominio un insieme di cardinalità <math>n.</math>
 
Per fissare le idee supponiamo di considerare le funzioni di 1 elemento in 4 elementi: poiché c'è una sola linea di associazione che parte dall'unico elemento presente nel dominio e poiché tale linea non può che finire in un unico elemento dei 4 presenti nel codominio, non si verificherà mai per questa condizione di avere a che fare con funzioni suriettive le quali, come detto sopra, richiedono che almeno un elemento del codominio sia interessato da almeno due linee di associazione. Pertanto anche nel caso delle disposizioni con ripetizione varrà la figura 1 essendo le funzioni di 1 in 4 sempre di tipo iniettivo. Quindi le disposizioni semplici di 4 elementi a 1 a 1 e quelle con ripetizione di 4 elementi a 1 a 1 si identificano fra di loro, anche perché è impossibile avere delle ripetizioni se si è in presenza di un solo elemento.
Passiamo ora a considerare le funzioni di 2 elementi in 4 elementi: la figura 4 illustra tutte le 16 funzioni di tale tipo, siano esse iniettive o suriettive. In particolare si può notare come la situazione di suriettività dia vita alla ripetitività degli elementi del codominio che contraddistingue a sua volta le disposizioni con ripetizione: ad esempio la (1) della figura 4 determina la disposizione AA mentre la (8) determina la disposizione BB.
 
Nel passaggio dalle funzioni di 1 elemento in 4 elementi a quella di 2 elementi in 4 elementi è come se al dominio avessimo aggiunto un altro elemento: a differenza del caso delle disposizioni semplici, ora nelle disposizioni con ripetizione consentiamo a questo secondo elemento di associarsi con uno qualunque dei 4 elementi del codominio ''anche con l'elemento del codominio già associato al primo elemento del dominio''. Pertanto le 4 associazioni relative al primo elemento del dominio vanno moltiplicate per le 4 associazioni relative al secondo elemento del dominio ottenendo <math>4\cdot 44x4=16</math> che sono proprio il totale delle funzioni iniettive e suriettive di 2 elementi in 4 elementi.
<br>[[File:Funzioni2-4.png|center|upright=3.2|miniatura|<div style="text-align:center">Fig. 4: funzioni di 2 elementi in 4 elementi</div>]]<br>
 
I numeri di due cifre (00, 01, ..., 09, 10, 11, ..., 19, 20, 21, 22, ...., 99) sono quelli che si ottengono dalle disposizioni con ripetizione di 10 elementi (i numeri da 0 a 9) presi a 2 a 2: quindi in totale sono 10<sup>2</sup>=100 come d'altronde si può verificare direttamente.
 
Il numero delle possibili colonne del [[totocalcio]] composte da tredici pronostici scelti fra tre elementi (1, X o 2) è uguale a 3<sup>13</sup> = 1.594.323. In questo caso risulta <math>k>n</math> essendo <math>k=13</math> eed <math>n=3</math> a conferma del fatto che nelle disposizioni con ripetizione il numero di posti <math>k</math> può essere qualunque indipendentemente da <math>n.</math>
 
== Permutazione: caso particolare di disposizione semplice ==
Si può notare che c'è una relazionestretta correlazione tra le disposizioni semplici e le permutazioni. Infatti nel caso in cui <math>k</math> sia uguale a <math>n</math> si ha:
 
:<math>D_{n,n} = \frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{1}=n!,</math>
 
che ècoincide ugualecon alil numero di [[Permutazione|permutazioni]] di <math>n</math> elementi.
 
D'altronde ciò è ovvio se si ricorre all'esempio dell'estrazione delle lettere da un sacchetto: le permutazioni possono essere viste come le estrazioni delle lettere con la condizione che vengano effettuate tante estrazioni quante sono le lettere stesse, fino ad esaurimento, senza che ce ne rimangano delle altre nel sacchetto.
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