Disposizione: differenze tra le versioni
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== Disposizioni semplici ==
Il numero di disposizioni semplici, denotate con il simbolo <math>D_{n, k},</math> di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k</math> è dato da:
:<math>D_{n, k} = n(n-1)(n-2) \cdot \cdot \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}.</math>
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Tra di esse ritroviamo anche ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA: pur essendo disposizioni costituite dagli stessi elementi esse sono da considerarsi differenti perché ordinate diversamente in conformità alla stessa definizione di disposizione.
Generalizzando, se le lettere in totale sono <math>n</math> e le estrazioni da effettuare sono <math>k,</math> si nota che si parte con
:<math>D_{n,k} = n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)
cioè
:<math>\begin{align}D_{n,k} &= n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)\\&= \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)(n-k)(n-k-1)\cdots 1}{(n-k)(n-k-1)\cdots 1}\\&=\frac{n!}{(n-k)!}.\end{align}</math>
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=== Funzioni iniettive ===
Oltre che ricorrendo all'estrazione delle lettere da un sacchetto, per ottenere il numero di disposizioni di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k</math> si può ricorrere all'utilizzo delle funzioni iniettive e in particolare alla ''determinazione del numero totale di tutte le funzioni iniettive'' aventi per dominio un insieme di cardinalità <math>k</math> e per codominio un insieme di cardinalità <math>n.</math>
Una [[funzione iniettiva]] è una legge che associa a ogni elemento del dominio un differente elemento del codominio. Considerando il caso di un dominio e di un codominio costituiti da due insiemi di elementi, ciò significa che da ogni elemento del dominio parte una sola linea di associazione (questo fatto è sempre vero per la definizione stessa di funzione sia essa iniettiva, suriettiva o biiettiva) e che su ogni elemento del codominio arriva una sola linea di associazione. Nel caso di [[Funzione suriettiva|funzioni suriettive]], fermo restando che da ogni elemento del dominio parte una sola linea, capita invece che su uno o più elementi del codominio arrivi più di una linea di associazione.
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Per fissare le idee supponiamo di considerare le funzioni iniettive di 1 elemento in 4 elementi: in totale saranno solo 4 tali funzioni rappresentate tutte nella figura 1. Indichiamo con |''F''<sub>1</sub>|=4 il numero totale di tali funzioni dove il pedice 1 sta a ricordare che il dominio è costituito da un solo elemento.
<br>[[File:Iniettiva1-4.png|center|upright=4.0|miniatura|<div style="text-align:center">Fig. 1: funzioni di un elemento in un insieme di 4 elementi</div>]]<br>
Le funzioni iniettive di 2 elementi in 4 elementi sono in totale 12: in fig. 2 sono riportati due diversi esempi delle 12 funzioni possibili. Da notare che nel passaggio dalle funzioni iniettive di 1 in 4 a quelle di 2 in 4 si è passati da 4 funzioni possibili a 12 funzioni possibili: ciò si spiega con il fatto che a ciascuna delle funzioni di 1 in 4 (ad esempio la 1-A di fig. 1) è come se si fosse aggiunto un altro elemento al dominio (ad esempio l'elemento "2")
<br>[[File:Iniettiva2-4.png|center|upright=3.2|miniatura|<div style="text-align:center">Fig. 2: esempi di funzioni iniettive di due elementi in un insieme di 4 elementi</div>]]<br>
Ripetendo il ragionamento, le funzioni iniettive di 3 in 4 elementi sono in totale 24: in figura 3 sono riportati due diversi esempi delle 24 funzioni possibili. Da notare che nel passaggio dalle funzioni iniettive di 2 in 4 a quelle di 3 in 4 si è passati da 12 funzioni possibili a 24 funzioni possibili: ciò si spiega con il fatto che a ciascuna delle funzioni di 2 in 4 (ad esempio la 1-A, 2-B di fig. 2) è come se si fosse aggiunto un altro elemento al dominio (ad esempio l'elemento "3")
<br>[[File:Iniettiva3-4.png|center|upright=3.2|miniatura|<div style="text-align:center">Fig. 3: esempi di funzioni iniettive di tre elementi in un insieme di 4 elementi</div>]]<br>
Generalizzando, siano <math>A</math> un [[insieme]] finito di [[cardinalità]] <math>k</math> e <math>B</math> un insieme finito di cardinalità <math>n,</math> con <math>0 \le k\le n.</math> Sia inoltre <math>F_k</math> l'insieme delle [[funzione iniettiva|funzioni iniettive]] <math>f\colon A\to B.</math> Vale la seguente [[relazione di ricorrenza|ricorrenza]]:
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:<math>\begin{align}|F_k|&=(n-k+1)|F_{k-1}|\\&=(n-k+1)(n-k+2)\cdots(n-1)|F_1|\\&=(n-k+1)(n-k+2)\cdots(n-1)(n)=\frac{n!}{(n-k)!},\end{align}</math>
essendo in generale <math>|F_1|=n</math> in conformità con l'esempio sopra delle funzioni di 1 in 4 dove <math>|F_1|=4</math>
Il numero delle funzioni iniettive di un insieme di cardinalità <math>k</math> in uno di cardinalità <math>n</math> si indica anche col simbolo:
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== Disposizioni con ripetizione ==
Il numero di disposizioni con ripetizione, denotate con il simbolo <math>D^'_{n, k},</math> di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k</math> è dato da:
:<math>D^'_{n, k} = n^k.</math>
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:DCA DCB DCC DCD DDA DDB DDC DDD
Come si può vedere diversi gruppi presentano elementi ripetuti
Generalizzando, se le lettere sono <math>n</math> e le estrazioni da effettuare sono <math>k,</math> si nota che, avendo cura di rimettere la lettera estratta nel sacchetto, si riparte ogni volta con tutte le lettere nel sacchetto indipendentemente se si tratta della prima, seconda, terza estrazione e così via. Il numero di disposizioni con ripetizione è dato dal prodotto di <math>n</math> per sé stesso <math>k</math> volte
:<math>D^'_{n, k} = n^k.</math>
=== Funzioni iniettive e suriettive ===
Oltre che ricorrendo all'estrazione delle lettere da un sacchetto, per ottenere il numero di disposizioni con ripetizione di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k</math> si può ricorrere all'utilizzo delle funzioni e in particolare alla ''determinazione del numero totale di tutte le funzioni siano esse iniettive o suriettive'' aventi per dominio un insieme di cardinalità <math>k</math> e per codominio un insieme di cardinalità <math>n.</math>
Per fissare le idee supponiamo di considerare le funzioni di 1 elemento in 4 elementi: poiché c'è una sola linea di associazione che parte dall'unico elemento presente nel dominio e poiché tale linea non può che finire in un unico elemento dei 4 presenti nel codominio, non si verificherà mai per questa condizione di avere a che fare con funzioni suriettive le quali, come detto sopra, richiedono che almeno un elemento del codominio sia interessato da almeno due linee di associazione. Pertanto anche nel caso delle disposizioni con ripetizione varrà la figura 1 essendo le funzioni di 1 in 4 sempre di tipo iniettivo. Quindi le disposizioni semplici di 4 elementi a 1 a 1 e quelle con ripetizione di 4 elementi a 1 a 1 si identificano fra di loro, anche perché è impossibile avere delle ripetizioni se si è in presenza di un solo elemento.
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Passiamo ora a considerare le funzioni di 2 elementi in 4 elementi: la figura 4 illustra tutte le 16 funzioni di tale tipo, siano esse iniettive o suriettive. In particolare si può notare come la situazione di suriettività dia vita alla ripetitività degli elementi del codominio che contraddistingue a sua volta le disposizioni con ripetizione: ad esempio la (1) della figura 4 determina la disposizione AA mentre la (8) determina la disposizione BB.
Nel passaggio dalle funzioni di 1 elemento in 4 elementi a quella di 2 elementi in 4 elementi è come se al dominio avessimo aggiunto un altro elemento: a differenza del caso delle disposizioni semplici, ora nelle disposizioni con ripetizione consentiamo a questo secondo elemento di associarsi con uno qualunque dei 4 elementi del codominio ''anche con l'elemento del codominio già associato al primo elemento del dominio''. Pertanto le 4 associazioni relative al primo elemento del dominio vanno moltiplicate per le 4 associazioni relative al secondo elemento del dominio ottenendo
<br>[[File:Funzioni2-4.png|center|upright=3.2|miniatura|<div style="text-align:center">Fig. 4: funzioni di 2 elementi in 4 elementi</div>]]<br>
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I numeri di due cifre (00, 01, ..., 09, 10, 11, ..., 19, 20, 21, 22, ...., 99) sono quelli che si ottengono dalle disposizioni con ripetizione di 10 elementi (i numeri da 0 a 9) presi a 2 a 2: quindi in totale sono 10<sup>2</sup>=100 come d'altronde si può verificare direttamente.
Il numero delle possibili colonne del [[totocalcio]] composte da tredici pronostici scelti fra tre elementi (1, X o 2) è uguale a 3<sup>13</sup> = 1.594.323. In questo caso risulta <math>k>n</math> essendo <math>k=13</math>
== Permutazione: caso particolare di disposizione semplice ==
Si può notare che c'è una
:<math>D_{n,n} = \frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{1}=n!,</math>
che
D'altronde ciò è ovvio se si ricorre all'esempio dell'estrazione delle lettere da un sacchetto: le permutazioni possono essere viste come le estrazioni delle lettere con la condizione che vengano effettuate tante estrazioni quante sono le lettere stesse, fino ad esaurimento, senza che ce ne rimangano delle altre nel sacchetto.
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