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Il '''Pi greco''' è una [[costante matematica]], indicata con la lettera greca <math>\pi</math> (''[[Pi (lettera greca)|pi]]''), scelta in quanto iniziale di περιφέρεια (perifereia), [[circonferenza]] in greco.
 
Nella [[geometria euclidea|geometria piana]] il <math>\pi</math> viene definito come il [[rapporto]] tra la lunghezza della [[circonferenza]] e quella del suo [[diametro]], o anche come l'[[area]] di un [[cerchio]] di [[Raggio (geometria)|raggio]] <math>1</math>. Molti libri moderni di [[analisi matematica]] definiscono il <math>\pi</math> usando le [[Funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]]: per esempio come il più piccolo [[numero]] strettamente positivo per cui <math>\sin(x)=0</math> oppure il più piccolo numero che diviso per <math>2</math> annulla <math>\cos(x)</math>. Tutte queste definizioni sono equivalenti.
 
Il <math>\pi</math> è conosciuto anche come '''costante di [[Archimede]]''' (da non confondere con i [[numero di Archimede|numeri di Archimede]]) e '''costante di [[Ludolph van Ceulen|Ludolph]]''' o '''numero di Ludolph'''. Il <math>\pi</math> non è una [[costante fisica]] o [[natura]]le, ma una [[costante matematica]] definita in modo astratto, indipendente da misure di carattere fisico.
 
LeQuesto è il valore del <math>\pi</math> con le sue prime 100 cifre [[Sistema numerico decimale|decimali]] dia <math>\pi</math>gruppi di sono5<ref>{{OEIS|A000796}}</ref><ref>http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/index314159.html</ref>:
:3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679…70679
 
== Proprietà ==
{{Vedi anche|Definizione rigorosa del Pi greco in geometria euclidea}}
[[File:Squaring the circle.svg|thumb|upright=0.7|Poiché π è un [[numero trascendente]], [[Quadratura del cerchio|quadrare il cerchio]] non è possibile in un numero finito di passi usando [[Riga (strumento)|riga]] e [[Compasso (strumento)|compasso]].]]
Il <math>\pi</math> è un [[numero irrazionale]], quindi non può essere scritto come quoziente di due [[Numero intero|interi]], come dimostrato nel [[1761]] da [[Johann Heinrich Lambert]]. Inoltre, è un [[numero trascendente]] (ovvero non è un [[numero algebrico]]): questo fatto è stato provato da [[Ferdinand von Lindemann]] nel [[1882]]. Ciò significa che non ci sono [[polinomio|polinomi]] con coefficienti [[Numero razionale|razionali]] di cui il <math>\pi</math> è radice, quindi è impossibile esprimere il <math>\pi</math> usando un numero finito di interi, di frazioni e di loro radici.
 
Questo risultato stabilisce l'impossibilità della [[quadratura del cerchio]], cioè la costruzione con riga e compasso di un quadrato della stessa area di un dato cerchio.
== Applicazioni ==
=== Geometria analitica ===
* La [[circonferenzaCirconferenza]] di un [[cerchio]] o di una [[sfera]] di raggio <math>r</math>:
:<math> C = 2{\pi} r </math>
* L'[[areaArea]] di un cerchio di raggio <math>r</math>:
:<math> A = {\pi} {r^2} </math>
* L'areaArea di un'[[ellisse]] di semiassi <math>a</math> e <math>b</math>:
:<math> A = {\pi}ab </math>
* Il [[volumeVolume]] di una [[sfera]] di raggio <math>r</math>:
:<math> V = \frac{4}{3} {\pi} {r^3} </math>
* La [[superficieSuperficie]] di una sfera di raggio <math>r</math>:
:<math> S = 4 {\pi} {r^2} </math>
* Il [[volumeVolume]] di un [[cilindro (geometria)|cilindro]] di altezza <math>h</math> e raggio <math>r</math>:
:<math> V = {\pi} {r^2} h </math>
* L'area della superficieSuperficie di un cilindro di altezza <math>h</math> e raggio <math>r</math>:
:<math> S = 2{\pi}r \cdot (r+h)</math>
* [[Angolo|Angoli]]: 180 [[grado d'arco|gradi]] equivalgono a <math>\pi</math> [[radiante|radianti]].
* Il [[volumeVolume]] di un cono di altezza ''h'' e raggio ''r'':
:<math> V = {\pi} {r^2} \frac{h}{3} </math>
 
</math>
 
* Il [[problemaProblema di Basilea]], risolto da [[Eulero]]:
::<math> \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} </math>
:risolto da [[Eulero]].
 
* Un'altra formulaFormula che usa la [[funzione zeta di Riemann]]:
::<math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>
 
* Il [[Formula prodotto di Eulero|prodottoProdotto di Eulero]], in cui il prodotto percorre tutti i numeri primi:
 
::<math>\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^2}\right)}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^2}\right)}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{7^2}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{11^2}\right)} \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>
:dove il prodotto percorre tutti i numeri primi.
 
* L'[[integraleIntegrale di Gauss]]:
::<math> \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} </math>
 
* L'[[integraleIntegrale di Eulero]]:
::<math>\int_{-\infin}^{+\infin}e^{\frac{-u^2}{2}}du = \sqrt{2\pi}</math>
 
* I seguentiAltri [[Tavola degli integrali definiti|integrali definiti]]:
::<math> \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+{x^2}}\, dx = \pi </math>
::<math>\int_0^{+\infty}{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}</math>
::<math>\int_0^{r}\sqrt{r^2 - x^2}dx=\frac{\pi r^2}{4}</math>
 
* L'[[integraleIntegrale di Fresnel]]:
::<math>\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\,dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\sin (x^2)\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>
 
* La [[Funzione Gamma|funzioneFunzione gamma]]:
::<math> \Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
 
</math>
 
* L'[[approssimazioneApprossimazione di Stirling]]:
::<math> n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n </math>
 
* La [[Funzione φ di Eulero|funzioneFunzione phi di Eulero]]:
::<math>\sum_{k=0}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2</math>
 
:*[[Identità di Eulero]], definita da [[Richard Feynman]] «la più notevole formula della matematica».:
* L'[[identità di Eulero]]:
::<math> e^{\pi i} + 1 = 0\; </math>
:definita da [[Richard Feynman]] «la più notevole formula della matematica».
 
* [[Prodotto infinito]] di [[Eulero]] con i [[numero primo|numeri primi]] dispari: