Residuo (analisi complessa): differenze tra le versioni
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Infatti valgono le uguaglianze
:<math> \begin{align}\oint_{\gamma} f(z)\,\mathrm dz &= \oint_\gamma \sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n\,\mathrm dz\\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^\infty \oint_\gamma a_n(z-z_0)^n\,\mathrm dz\\ &=\oint_\gamma a_{-1}(z-z_0)^{-1} \,\mathrm dz\\ &= 2\pi i a_{-1}\end{align} </math>
Tutti i termini diversi da <math>n=-1 </math> infatti non contribuiscono all'integrale, poiché la funzione <math> (z-z_0)^n </math> ha una primitiva ben definita per ogni <math> n </math>
:<math> \begin{align}\oint_\gamma \frac 1z \mathrm dz &= \int_0^1 \frac{1}{re^{2\pi i t}}re^{2\pi i t} \cdot 2\pi i\,\mathrm dt\\ &= \int_0^1 2\pi i\,\mathrm dt\\ &= 2\pi i.\end{align} </math>
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