Differenze tra le versioni di "Disposizione"

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{{Nota disambigua|la disposizione in senso filosofico|Abito (filosofia)}}
 
Nel [[calcolo combinatorio]], dati due numeri [[numero intero|interi]] non negativi <math>n</math> e <math>k</math>, si definisce '''disposizione''' di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k</math> (oppure di <math>n</math> elementi di classe <math>k,</math> oppure di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta) ogni sottoinsieme ''ordinato'' di <math>k</math> elementi estratti da un insieme di <math>n</math> elementi tale che i sottoinsiemi differisconodifferiscano sealmeno presentanoin qualcheun elemento diverso oppure, sein presentanopresenza glidegli stessi elementi, manel ordinatimodo diversamentein cui sono ordinati. Talvolta <math>k</math> viene chiamato ''numero di posti'' e la disposizione di <math>n</math> elementi in <math>k</math> posti viene chiamata <math>k</math>-disposizione.
 
Se nei sottoinsiemi ''non sono ammessi'' elementi ripetuti si parla di '''disposizioni semplici''' altrimenti di '''disposizioni con ripetizione''': nel primo caso deve essere <math>k \le n.</math>
:EAB EAC EAD EBA EBC EBD ECA ECB ECD EDA EDB EDC
 
TraFra di esse ritroviamotroviamo anche ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA: pur essendo disposizioni costituite dagli stessi elementi esse sono da considerarsi differenti perché ordinate diversamente in conformità alla stessa definizione di disposizione.
 
Generalizzando, se le lettere in totale sono <math>n</math> e le estrazioni da effettuare sono <math>k,</math> si nota che si parte con <math>n</math> possibilità di estrazione per la prima lettera estratta, si scende a <math>n-1</math> per la seconda lettera estratta e così via fino ad arrivare a <math>n-k+1</math> per la <math>k</math>-esima lettera estratta. Ripetendo il ragionamento fatto sopra avremo
:<math>\begin{align}D_{n,k} &= n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)\\&= \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)(n-k)(n-k-1)\cdots 1}{(n-k)(n-k-1)\cdots 1}\\&=\frac{n!}{(n-k)!}.\end{align}</math>
 
È da notare infine che quando viene estratta una lettera dal sacchetto, ''quest'ultima non viene rimessa dentro'': questo fatto garantisce che la stessa lettera non può essere estratta più volte e che quindi non ci possono essere elementi ripetuti nel sottoinsieme estratto in conformità alla definizione di disposizione semplice. L'esempio del sacchetto spiega anche perché deve risultare necessariamente <math>k\le n</math>: al massimo possono essere effettuate <math>n</math> estrazioni, dopodiché non rimangono altre lettere nel sacchetto da poter estrarre.
 
=== Funzioni iniettive ===
 
Una [[funzione iniettiva]] è una legge che associa a ogni elemento del dominio un differente elemento del codominio. Considerando il caso di un dominio e di un codominio costituiti da due insiemi di elementi, ciò significa che da ogni elemento del dominio parte una sola linea di associazione (questo fatto è sempre vero per la definizione stessa di funzione sia essa iniettiva, suriettiva o biiettiva) e che su ogni elemento del codominio arriva una sola linea di associazione. Nel caso di [[Funzione suriettiva|funzioni suriettive]], fermo restando che da ogni elemento del dominio parte una sola linea, capita invece che su uno o più elementi del codominio arrivi più di una linea di associazione.
<br>[[File:Iniettiva-Suriettiva.png|center|upright=3.2|miniatura|<div style="text-align:center">Differenza tra funzione iniettiva-/suriettiva</div>]]<br>
Per fissare le idee supponiamo di considerare le funzioni iniettive di 1 elemento in 4 elementi: in totale saranno 4 tali funzioni, tutte rappresentate in figura 1. Indichiamo con |''F''<sub>1</sub>|=4 il numero totale di tali funzioni dove il pedice 1 sta a ricordare che il dominio è costituito da un solo elemento.
<br>[[File:Iniettiva1-4.png|center|upright=4.0|miniatura|<div style="text-align:center">Fig. 1: funzioni di un elemento in un insieme di 4 elementi</div>]]<br>
Le funzioni iniettive di 2 elementi in 4 elementi sono in totale 12: in figura 2 sono riportati due diversi esempi delle 12 funzioni possibili. Da notare che nel passaggio dalle funzioni iniettive di 1 in 4 a quelle di 2 in 4 si è passati da 4 funzioni possibili a 12 funzioni possibili: ciò si spiega con il fatto che a ciascuna delle funzioni di 1 in 4 (ad esempio la 1-A di fig.figura 1) è come se si fosse aggiunto un altro elemento al dominio (ad esempio l'elemento "2") da cui è possibile far partire 3 diverse associazioni (2-B, 2-C e 2-D, escludendo la 2-A visto che ci stiamo limitando alle funzioni iniettive e che l'elemento A del codominio è già associato all'elemento 1 del dominio). Ciò porta il totale a 4x3=12. Indichiamo con |''F''<sub>2</sub>|=|''F''<sub>1</sub>|x(4-1)=4x3=12 il numero totale di tali funzioni dove il pedice 2 a primo membro e il pedice 1 a secondo membro stanno a ricordare che il dominio è costituito rispettivamente da due elementi e da un elemento conformemente alla nostra esposizione.
<br>[[File:Iniettiva2-4.png|center|upright=3.2|miniatura|<div style="text-align:center">Fig. 2: esempi di funzioni iniettive di due elementi in un insieme di 4 elementi</div>]]<br>
Ripetendo il ragionamento, le funzioni iniettive di 3 in 4 elementi sono in totale 24: in figura 3 sono riportati due diversi esempi delle 24 funzioni possibili. Da notare che nel passaggio dalle funzioni iniettive di 2 in 4 a quelle di 3 in 4 si è passati da 12 funzioni possibili a 24 funzioni possibili: ciò si spiega con il fatto che a ciascuna delle funzioni di 2 in 4 (ad esempio la 1-A, 2-B di fig. 2) è come se si fosse aggiunto un altro elemento al dominio (ad esempio l'elemento "3") da cui è possibile far partire 2 diverse associazioni (3-C e 3-D, escludendo 3-A e 3-B per rispettare l'iniettività). Ciò porta il totale a 12x2=24. Indichiamo con |''F''<sub>3</sub>|=|''F''<sub>2</sub>|x(4-2)=12x2=24 il numero totale di tali funzioni dove il pedice 3 a primo membro e il pedice 2 a secondo membro stanno a ricordare che il dominio è costituito rispettivamente da tre elementi e da due elementi conformemente alla nostra esposizione.
<br>[[File:Iniettiva3-4.png|center|upright=3.2|miniatura|<div style="text-align:center">Fig. 3: esempi di funzioni iniettive di tre elementi in un insieme di 4 elementi</div>]]<br>
Generalizzando, siano <math>A</math> un [[insieme]] finito di [[cardinalità]] <math>k</math> e <math>B</math> un insieme finito di cardinalità <math>n,</math> con <math>0 \le k\le n.</math> Sia inoltre <math>F_k</math> l'insieme delle [[funzione iniettiva|funzioni iniettive]] <math>f\colon A\to B.</math> Vale la seguente [[relazione di ricorrenza|formula ricorsiva]]:
 
:<math>\begin{align}|F_k|&=(n-k+1)|F_{k-1}|\\&=(n-k+1)(n-k+2)\cdots(n-1)|F_1|\\&=(n-k+1)(n-k+2)\cdots(n-1)(n)=\frac{n!}{(n-k)!},\end{align}</math>
 
essendo in generale <math>|F_1|=n</math> in conformità con l'esempio sopra delle funzioni di 1 in 4 dove <math>|F_1|=4</math> essendo nella fattispecie <math>n=4.</math> Siamo così giunti alla conclusione enunciata sopra che ''il numero di funzioni iniettive'' di un insieme di cardinalità <math>k</math> in un insieme di cardinalità <math>n</math> si identifica con quello delle disposizioni semplici di <math>n</math> elementi a <math>k</math> a <math>k.</math>
 
Il numero delle funzioni iniettive di un insieme di cardinalità <math>k</math> in uno di cardinalità <math>n</math> si indica anche col simbolo:
Supponiamo di voler estrarre 3 elementi a partire da un insieme di 4 elementi ma a differenza di prima facciamo in modo che gli elementi possano ripetersi: in altri termini si vogliono trovare le disposizioni con ripetizione di 4 elementi a 3 a 3.
 
A tale proposito supponiamo di mettere in un sacchetto le 4 lettere A, B, C e D e di volerne estrarre 3 a caso. La prima lettera che andremo ad estrarre sarà indifferentemente una delle 4 e quindi avremo 4 possibilità di estrazione. Ora però, prima di procedere all'estrazione della seconda lettera, ''rimettiamo nel sacchetto la lettera che abbiamo appena estratto''. Anche la seconda lettera che andremo ad estrarre sarà indifferentemente una delle 4 e quindi avremo nuovamente 4 possibilità di estrazione: tra l'altro può capitare che la seconda lettera estratta sia la stessa della prima, che quindi ci sia la ''ripetitività'', essendo ripartiti con tutte le lettere nel sacchetto. Ancora una volta rimettiamo nel sacchetto la lettera appena estratta. Infine, ancheAnche la terza lettera, infine, che andremo ad estrarre sarà indifferentemente una delle 4 e quindi avremo nuovamente 4 possibilità di estrazione. Se moltiplichiamo tutte le possibilità fra loro avremo 4x4x4=4<sup>3</sup>=64 possibili gruppi, vale a dire le ''64 possibili disposizioni con ripetizione'' di 4 elementi presi a 3 a 3.
 
Tali disposizioni sono riportate di seguito:
Come si può vedere diversi gruppi presentano elementi ripetuti: per esempio, le disposizioni AAB e BAA sono considerate differenti in quanto pur avendo gli stessi elementi (la lettera A che si ripete due volte e la lettera B) esse sono ordinate diversamente.
 
Generalizzando, se le lettere sono <math>n</math> e le estrazioni da effettuare sono <math>k,</math> si nota che, avendorimettendo curaogni di rimetterevolta la lettera appena estratta nel sacchetto, si riparte ogni volta con tutte le lettere nela sacchettodisposizione indipendentemente se si tratta della prima, seconda, terza estrazione e così via. Il numero di disposizioni con ripetizione è dato, come volevasi dimostrare, ''dal prodotto di <math>n</math> per sé stesso <math>k</math> volte,'' da cui la formula:
 
:<math>D^'_{n, k} = n^k.</math>
Per fissare le idee supponiamo di considerare le funzioni di 1 elemento in 4 elementi: poiché c'è una sola linea di associazione che parte dall'unico elemento presente nel dominio e poiché tale linea non può che finire in un unico elemento dei 4 presenti nel codominio, non si verificherà mai per questa condizione di avere a che fare con funzioni suriettive le quali, come detto sopra, richiedono che almeno un elemento del codominio sia interessato da almeno due linee di associazione. Pertanto anche nel caso delle disposizioni con ripetizione varrà la figura 1 essendo le funzioni di 1 in 4 sempre di tipo iniettivo. Quindi le disposizioni semplici di 4 elementi a 1 a 1 e quelle con ripetizione di 4 elementi a 1 a 1 si identificano fra di loro, anche perché è impossibile avere delle ripetizioni se si è in presenza di un solo elemento.
 
Passiamo ora a considerare le funzioni di 2 elementi in 4 elementi: la figura 4 illustra tutte le 16 funzioni di tale tipo, siano esse iniettive o suriettive. In particolare si può notare come la condizione di suriettività dia vita alla ripetitività degli elementi del codominio che contraddistingue a sua volta le disposizioni con ripetizione: ad esempio la (1) delladi figura 4 determina la disposizione AA mentre la (8) determina la disposizione BB.
 
Nel passaggio dalle funzioni di 1 elemento in 4 elementi a quellaquelle di 2 elementi in 4 elementi è come se al dominio avessimo aggiunto un altro elemento al dominio: a differenza del caso delle disposizioni semplici, ora, nelle disposizioni con ripetizione, consentiamo a questo secondo elemento di associarsi con uno qualunque dei 4 elementi del codominio, ''anche con l'elemento del codominio già associato al primo elemento del dominio'', ritenendo ora possibili associazioni di tipo suriettivo. Pertanto le 4 associazioni relative al primo elemento del dominio vanno moltiplicate per le 4 associazioni relative al secondo elemento del dominio ottenendo 4x4=16 che sono proprio il totale delle funzioni iniettive e suriettive di 2 elementi in 4 elementi.
<br>[[File:Funzioni2-4.png|center|upright=3.2|miniatura|<div style="text-align:center">Fig. 4: funzioni di 2 elementi in 4 elementi</div>]]<br>
 
 
== Permutazione: caso particolare di disposizione semplice ==
Si può notare che c'è una stretta correlazione tra le disposizioni semplici e le permutazioni. Infatti nel caso in cui <math>k</math> sia uguale a <math>n</math> si ha:
 
:<math>D_{n,n} = \frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{1}=n!,</math>
che coincide con il numero di [[Permutazione|permutazioni]] di <math>n</math> elementi.
 
D'altronde ciò è ovvio se si ricorre all'esempio dell'estrazione delle lettere da un sacchetto: le permutazioni possono essere viste come le estrazioni delle lettere con la condizione che vengano effettuate tante estrazioni quante sono le lettere stesse, fino allo svuotamento del sacchetto.
 
== Bibliografia ==
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