Differenze tra le versioni di "Teorema fondamentale del calcolo integrale"

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(→‎Relazione fra i due teoremi: Esplicitata una ipotesi sottointesa in un esempio)
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<math> G'(t)=f(t) </math> su <math> [a,b]</math>, se <math>f</math> è integrabile, allora per ogni <math>x \in [a,b]</math>
:<math> \int_a^x f(t)dt=G(x)-G(b)</math>
Definiamo
:<math>F(x)= \int_a^x f(t)dt=G(x)-G(b)</math>
Poiché <math>F</math> è somma di funzioni derivabili <math>F'(x)=G'(x)</math> ma <math>G' (x)=f(x)</math> dunque <math>F' (x)=f(x)</math>.
Se assumiamo addizionalmente l'ipotesi di continuità di <math>f</math> si deriva precisamente il primo teorema dal secondo e dalle proprietà basilari della derivata.
 
Viceversa il primo teorema fondamentale del calcolo ha un 'ipotesi in più del secondo (la continuità di <math>f</math>), dunque questo non può seguire (nel suo caso generale) dall'altro.
 
Facendo un esempio concreto, la ''formula fondamentale del calcolo'', usando solo il primo teorema, non si potrebbe applicare a
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