Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy: differenze tra le versioni

Nel seguito sono elencate due diverse dimostrazioni del teorema. La prima sfrutta concetti basilari di [[analisi funzionale]], mentre la seconda utilizza argomenti di [[analisi reale]] e ha il pregio di mostrare come costruire operativamente una soluzione attraverso approssimazioni successive, e di dare una stima generalmente più accurata dell'ampiezza <math>\delta</math> dell'intervallo di definizione della soluzione.

 

Sia <math>\delta < \min \left\{a, \tfrac{1}{L}, \tfrac{b}{M} \right\}</math> con <math>M = \max \{ |f(x,y)|: (x,y) \in I \times J\}</math>. Si noti che <math>M \in \R</math> per il [[teorema di Weierstrass]] (poiché <math>I \times J</math> è [[spazio compatto|compatto]]). Nel caso in cui <math>M=0</math>, ovvero qualora <math>f</math> sia identicamente nulla, il sistema ammette come unica soluzione la [[funzione costante]] <math>y(x)=y_0</math>, quindi si può supporre <math>M \ne 0</math>.

 

e poiché <math>L \delta < 1</math>, <math>F</math> è una contrazione.

 

Nel corso della seguente dimostrazione si giunge ad una stima generalmente più accurata del [[numero reale]] <math>\delta</math>. Inizialmente, si ponga <math>\delta = \min \{a, \tfrac b M\}</math>. Il passo successivo consiste nel definire per ricorrenza una [[successione di funzioni]] <math>y_k: I_\delta \to \R^n</math> come: