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L'algoritmo è un concetto fondamentale dell'[[informatica]], anzitutto perché è alla base della nozione teorica di [[calcolabilità]]: un problema è calcolabile quando è risolvibile mediante un algoritmo. Inoltre, l'algoritmo è un concetto cardine anche nella fase di [[Programmazione (informatica)|programmazione]] dello [[ciclo di vita del software|sviluppo di un software]]: preso un problema da [[automatica|automatizzare]], la programmazione costituisce essenzialmente la traduzione o [[codifica]] di un algoritmo per tale problema in [[programma (informatica)|programma]], scritto in un certo [[linguaggio]], che può essere quindi effettivamente [[esecuzione (informatica)|eseguito]] da un [[calcolatore]] rappresentandone la logica di [[Elaborazione dati|elaborazione]].
C COS JIE?
== Definizione ==
Nel [[XX secolo]], il concetto di algoritmo venne formalizzato per risolvere il problema matematico della "decisione" ([[Entscheidungsproblem]]), posto da [[David Hilbert]] nel 1928, e altre successive formalizzazioni giunsero con lo sviluppo dei concetti di "[[effective calculability|calcolabilità effettiva]]"<ref>Kleene 1943 in Davis 1965:274</ref> e di "metodo effettivo"<ref>Rosser 1939 in Davis 1965:225</ref>.
Le formalizzazioni matematiche più famose sono le [[funzioni ricorsive]] di [[Kurt Gödel|Gödel]]–[[Jacques Herbrand|Herbrand]]–[[Stephen Cole Kleene|Kleene]] del 1930, 1934 e 1935; il [[lambda calcolo]] di [[Alonzo Church]] e la [[Formulation 1]] di [[Emil Post]] del 1936; e, infine, la [[Macchina di Turing|Macchina di Alan Turing]] del 1936–37 e 1939. Nonostante ciò, una definizione del concetto di algoritmo che sia formale e non tecnica manca tuttora<ref>
{{Cita libro
|nome=Yiannis N.
|cognome=Moschovakis
|capitolo=What is an algorithm?
|titolo=Mathematics Unlimited — 2001 and beyond
|curatore-nome=B.
|curatore-cognome=Engquist
|curatore-nome2=W.
|curatore-cognome2=Schmid
|editore=Springer
|anno=2001
|pagine=919–936 (Part II)
|url=http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.32.8093
}}</ref> e si è pertanto costretti ad accontentarsi dell'idea intuitiva di algoritmo come:
:"''una sequenza ordinata e finita di passi (operazioni o istruzioni) elementari che conduce a un ben determinato risultato in un tempo finito''".
=== Modelli formali ===
[[File:Quicksort example small.png|thumb|right|Rappresentazione grafica dell'algoritmo [[Quicksort]]]]
{{vedi anche|Teoria della calcolabilità#Che cos'è un algoritmo}}
La definizione di algoritmo appena riportata è piuttosto informale, mentre era necessario disporre di una definizione più rigorosa per trattare il concetto di algoritmo con strumenti matematici. Al tal fine sono stati definiti alcuni [[Modello matematico|modelli matematici]] di algoritmo, fra i quali uno dei più celebri è la [[macchina di Turing]]. Essa rappresenta una sorta di ''computer'' ideale corredato di un [[Programma (informatica)|programma]] da eseguire, ma, rispetto a un computer ideale, la macchina di Turing ha un funzionamento estremamente più semplice cosicché il suo funzionamento possa essere facilmente descritto in termini matematici, facendo uso di concetti come [[insieme]], [[relazione (matematica)|relazione]] e [[funzione (matematica)|funzione]].
La [[architettura di von Neumann|macchina di Von Neumann]], che è il modello di architettura primigenio di tutti i computer attuali, è equivalente, in termini di potere di calcolo, alla macchina di Turing. In altre parole, è stato dimostrato che un certo problema può essere risolto da un computer (opportunamente programmato) se e solo se esso può essere risolto anche da una macchina di Turing. Oltre alla macchina di Turing, proposta da [[Alan Turing]] nel [[1936]], nello stesso periodo altri matematici hanno elaborato diverse rappresentazioni formali del concetto di algoritmo, fra i quali ricordiamo, per esempio, il [[lambda calcolo]]. Dopo alcuni anni, emerse che tutti questi modelli erano equivalenti: {{cn|i problemi che una macchina di Turing poteva risolvere erano gli stessi che poteva risolvere una macchina di von Neumann e anche gli stessi che poteva risolvere una funzione costruita col lambda calcolo
inserire riferimento o citare risultato}}.
Da questi risultati, tra l'altro, scaturì la [[tesi di Church-Turing]], che afferma che qualsiasi algoritmo sia modellabile con una macchina di Turing. In altri termini, questa tesi sostiene che è sostanzialmente impossibile cercare di immaginare un modello di algoritmo più potente e, di conseguenza, che nessuna macchina potrà mai risolvere problemi che una macchina di Turing non possa risolvere in linea di principio. Non si tratta di un [[teorema]] dimostrato matematicamente, poiché la tesi stabilisce l'eguaglianza di due concetti, l'algoritmo e la macchina di Turing, ma il primo non possiede una definizione formale. La tesi è oggi generalmente condivisa, sebbene i progressi nelle ricerche nel settore dell'[[ipercomputazione]] sembrino talvolta metterla in discussione.
=== Proprietà fondamentali degli algoritmi ===
Dalla precedente definizione di algoritmo si evincono alcune proprietà necessarie, senza le quali un algoritmo non può essere definito tale:
* i passi costituenti devono essere "elementari", ovvero non ulteriormente scomponibili (''atomicità'');
* i passi costituenti devono essere interpretabili in modo diretto e univoco dall'''esecutore'', sia esso umano o artificiale (''non ambiguità'');
* l'algoritmo deve essere composto da un numero finito di passi e richiedere una quantità finita di dati in ingresso (''finitezza'')
* l'esecuzione deve avere termine dopo un tempo finito (''terminazione'');
* l'esecuzione deve portare a un risultato univoco (''effettività'').
[[File:Algoritmo para Procesar y Organizar en GTD.png|thumb|right|Esempio di [[diagramma di flusso]] di un algoritmo]]
Così, ad esempio, "rompere le uova" può essere considerato legittimamente un passo elementare di un "algoritmo per la cucina" (ricetta), ma non potrebbe esserlo anche "aggiungere sale quanto basta" dato che l'espressione "quanto basta" è ambigua, e non indica con precisione quali passaggi servano per determinare la quantità necessaria.
Un passo come "preparare un pentolino di crema pasticcera" non può considerarsi legittimo perché ulteriormente scomponibile in sotto-operazioni (accendere il fuoco, regolare la fiamma, mettere il pentolino sul fornello, ecc.) e anche perché contenente ambiguità (non specifica quanto grande deve essere il pentolino, quanto deve essere riempito di crema e così via). Al contrario, "continuare a mescolare a fuoco vivo fino a quando il composto non assume colore bruno" è un'istruzione accettabile di tipo ''iterativo'', che comporta un numero finito di operazioni (le rimestate) sebbene tale numero non sia conoscibile a priori, perché dipendente da ciò che è chiamato ''input'' (il grado di umidità della farina nel composto, il vigore della fiamma, ecc.). All'istruzione non elementare di preparazione della crema potrebbe, però, essere associato un opportuno rimando a un'altra sezione del ricettario, che fornisca un sotto-algoritmo apposito per questa specifica operazione. Questo suggerisce che, per comodità d'implementazione, gli algoritmi possano essere ''modulari'', ovvero orientati a risolvere specifici sotto-problemi, e ''gerarchicamente organizzati''. Inoltre, una ricetta che preveda la cottura a [[microonde]] non può essere preparata da un esecutore sprovvisto dell'apposito elettrodomestico; questo rimanda al problema della ''realizzabilità'' degli algoritmi, ovvero della loro compatibilità con le risorse materiali e temporali a disposizione. Infine, possono darsi più algoritmi validi per risolvere uno stesso problema, ma ognuno con un diverso grado di ''efficienza''.
L'algoritmo viene generalmente descritto come "procedimento di risoluzione di un problema". In questo contesto, i "problemi" che si considerano sono quasi sempre caratterizzati da ''dati di ingresso'' ([[input]]) variabili, su cui l'algoritmo stesso opererà per giungere fino alla soluzione. Per esempio, il calcolo del massimo comune divisore fra due numeri è un esempio di "problema", e i suoi ''dati di ingresso'', variabili di volta in volta, sono i due numeri in questione. A un non matematico questa potrebbe apparire come una "famiglia di problemi" (il problema di calcolare il massimo comune divisore fra 10 e 15, il problema di calcolarlo fra 40 e 60, fra 35 e 95, e così via). Il matematico e l'informatico identificano con la parola "problema" l'intera famiglia e con "istanza" o "x" ciascuno dei quesiti specifici ottenuti fissando due particolari valori. Data questa premessa, un algoritmo risolve un problema se per qualunque istanza del problema esso produce in un tempo finito la soluzione desiderata, ovvero un certo risultato o dato in uscita ([[Input/output|output]]) a partire da dei dati in ingresso ([[input]]).
Se questa idea aveva già una certa importanza per il calcolo matematico, l'avvento dell'informatica l'ha arricchita di una nuova importanza, ed è infatti con l'informatica che il termine "algoritmo" ha iniziato a diffondersi. Difatti, se per ottenere un certo risultato (risolvere un certo problema) esiste un procedimento infallibile, che può essere descritto in modo non ambiguo fino ai dettagli, e conduce sempre all'obiettivo desiderato in un tempo finito, allora esistono le condizioni per affidare questo compito a un [[computer]], semplicemente introducendo l'algoritmo in questione in un [[Programma (informatica)|programma]] scritto in un opportuno [[linguaggio di programmazione|linguaggio]] comprensibile alla macchina.
Inizialmente un algoritmo può essere descritto attraverso l'uso di un [[diagramma di flusso]] o ricorrendo a uno [[pseudocodice]]. Successivamente, nella fase di [[Programmazione (informatica)|programmazione]] l'algoritmo così scritto verrà tradotto in [[linguaggio di programmazione]] a opera di un [[programmatore]] sotto forma di [[codice sorgente]] dando vita al [[programma (informatica)|programma]] che sarà [[esecuzione (informatica)|eseguito]] dal calcolatore, eventualmente dopo un'ulteriore traduzione in [[linguaggio macchina]]. Particolare rilevanza teorica in tale ambito assume il [[teorema di Böhm-Jacopini]] che afferma che qualunque algoritmo può essere implementato utilizzando tre sole strutture, la [[sequenza (informatica)|sequenza]], la [[selezione (informatica)|selezione]] e il ciclo ([[iterazione]]), da applicare ricorsivamente alla composizione di [[istruzione (informatica)|istruzioni]] elementari. Nella pratica corrente il programmatore professionista nel suo lavoro svolge automaticamente questo processo di traduzione scrivendo direttamente il codice sorgente necessario nelle suddette modalità avendo già trovato la soluzione al problema dato.
== Approccio matematico ==
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