Funzione di trasferimento: differenze tra le versioni
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In [[matematica]] e nella teoria dei [[sistema dinamico|sistemi dinamici]], la '''funzione di trasferimento''' è una funzione che caratterizza il comportamento di un sistema dinamico [[Sistema tempo-invariante|tempo-invariante]] nel [[dominio della frequenza]], mettendo in relazione l'ingresso e l'uscita. Può essere definita per descrivere sia [[sistema dinamico lineare|sistemi lineari]] che sistemi non-lineari.<ref>{{
control systems|autore=Miroslav Halás e Ülle Kotta|lingua=en}}</ref>
La funzione di trasferimento di un [[sistema dinamico lineare stazionario]] (LTI) è la [[trasformata di Laplace]] della [[risposta impulsiva|risposta all'impulso]] del sistema; si tratta della [[funzione di rete]] che esprime la relazione algebrica tra [[input|ingresso]] e uscita nel dominio delle frequenze, caratterizzando il comportamento del sistema in un modo equivalente a quello fornito dalla [[Spazio di stato|rappresentazione in spazio di stato]]. Con la funzione di trasferimento è possibile studiare la [[Teoria della stabilità|stabilità]] ([[stabilità esterna|esterna]]) del sistema LTI considerato, ovvero la sua capacità di mantenere un'uscita limitata per ogni ingresso limitato.
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Si tratta di una funzione razionale di variabile complessa, in cui gli <math>Z+1</math> numeri <math>z_i</math> (che annullano il [[frazione (matematica)|numeratore]]) sono i suoi [[Zero (analisi complessa)|zeri]], mentre i <math>P+1</math> numeri <math>p_i</math> (che annullano il [[denominatore]]) sono i suoi [[Polo (analisi complessa)|poli]]. Ad ogni polo di <math>H(s)</math> risulta associato nel dominio del tempo un ''modo di risposta'', ed i modi di risposta vengono detti ''asintoticamente stabili'' se i poli corrispondenti hanno parte reale negativa, ''marginalmente stabili'' (al limite di stabilità) se tra i poli corrispondenti ce ne sono alcuni semplici (di molteplicità algebrica pari ad uno) con parte reale nulla, e ''instabili'' se i poli hanno parte reale nulla e molteplicità algebrica maggiore di uno e/o parte reale positiva.
Una caratteristica fondamentale di ogni sistema LTI è il fatto che fornendo in ingresso <math>u(t)</math> una funzione (più propriamente una [[Distribuzione (matematica)|distribuzione]]) a [[delta di Dirac]] si ha che l'uscita <math>y(t)</math> del sistema, detta in tal caso [[risposta impulsiva|risposta all'impulso]], ha come trasformata di Laplace proprio la funzione di trasferimento del sistema stesso <math>H(s)</math> (ciò deriva dal fatto che la trasformata di Laplace della delta di Dirac è 1).
Poiché nel dominio della trasformata di Laplace un prodotto di due funzioni corrisponde alla loro [[convoluzione]] nel dominio temporale, segue che la risposta del sistema ad un ingresso generico <math>y(t)</math> è la convoluzione dell'ingresso <math>u(t)</math> con la risposta del sistema alla delta di Dirac <math>h(t)</math>.
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mentre i ritardi <math>\tau_{\phi}</math> e <math>\tau_{g}</math> introdotti dalla funzione di trasferimento rispettivamente sulla fase e sull'inviluppo della sinusoide, espressi in funzione della frequenza, sono:
:<math>\tau_{\phi}(\omega) = -
=== Risposta impulsiva ===
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Per ottenere la funzione di trasferimento, se l'ingresso è <math>u = e^{st}</math> l'uscita di un sistema lineare ha la forma <math>y = y_0 e^{st}</math>. Sostituendo si ha:
:<math> (s^n + a_1 s^{n-1} + \
da cui si ottiene:
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dove:
:<math> \begin{align}
a(s) &= s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_{n-1}s + a_n\\
b(s) &= s^m + b_1 s^{m-1} + \cdots + b_{m-1}s + b_{m}
\end{align}</math>
sono i polinomi caratteristici dell'equazione. Si ha quindi:
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Per il [[teorema fondamentale dell'algebra]] la frazione si può scrivere in una forma che ne evidenzia gli zeri e i poli:
:<math>H(s) = \frac{(s - z_1)(s -z_2) \
=== Sistemi a tempo discreto ===
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Per i sistemi non lineari l'uscita può essere approssimata dalla [[serie]] composta dalla risposta <math>h_1(\tau_1)</math> di un sistema lineare, sommata alla risposta <math>h_2(\tau_1 , \tau_2)</math> di un sistema quadratico, sommata a quella <math>h_3(\tau_1, \tau_2, \tau_3)</math> di uno cubico, e così via:
:<math>\begin{align}
:<math>y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} h_1(\tau_1)x(t-\tau_1)d\tau_1 + \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} h_2(\tau_1,\tau_2)x(t-\tau_1)x(t-\tau_2)d\tau_1 d\tau_2 \, + </math>▼
▲
\end{align} </math>
dove <math>x</math> è l'ingresso. La serie può convergere o divergere a seconda del sistema considerato e dell'ampiezza dell'ingresso; se converge allora l'uscita può essere scritta con i primi termini non nulli dello sviluppo e la funzione di trasferimento <math>H_n(s_1, s_2,\dots ,s_n)</math> è definita, in modo simile ai sistemi lineari, come la trasformata:<ref>{{
:<math>H_n(s_1, s_2,\dots ,s_n) = \int_{-\infty}^{+\infty} \dots \int_{-\infty}^{+\infty} h_n( \tau_1,\tau_2,\dots ,\tau_n) e^{-(s_1 \tau_1 + s_2 \tau_2 + \dots + s_n \tau_n)} d\tau_1 \, d\tau_2 \, \dots ,\ d\tau_n</math>
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