Serie di Laurent: differenze tra le versioni

Il Teoremateorema di Laurent ci garantisce che la serie vista nella sezione precedente converge uniformemente alla funzione <math>f(z)</math> nella corona circolare in cui è olomorfa, e cioè:

''Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in una corona circolare <math>C_{r,R} \equiv= \left\{z \in \mathbb{C} \mid r < \left\vert z-z_{0} \right\vert < R \right\}</math> e sia <math>\gamma \subset C_{r,R}</math> una curva chiusa semplice. Allora <math>f(z)</math> può essere sviluppata, in tutta la corona <math>C_{r,R}</math>, in una serie di potenze bilatera uniformemente convergente, detta serie di Laurent, nella forma:''

:<math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}(z-z_{0})^{n},</math>

:<math>\left\vert c_{n}=\frac{\zeta-z_{0}1}{z-z_{0}}2 \right\vert < 1pi i}\quad oint_{\forall \zeta \in \gamma_{1gamma} \qquad \left\vert \frac{f(\zeta-z_{0})}{z(\zeta-z_{0})^{n+1} \right\vert > 1 \quad \forall }d\zeta \in \gamma_{2}.</math>

ApriamoPer dimostrare questo importante risultato, si considerino le frontiere <math>\gamma_{1} = \left\{\zeta \in \mathbb{C} \mid \left\vert \zeta-z_{0} \right\vert = r \right\}</math> e <math>\gamma_{2} = \left\{\zeta \in \mathbb{C} \mid \left\vert \zeta-z_{0} \right\vert = R \right\}</math> della corona circolare <math>C_{r,R}.</math> Per ogni punto <math>z \in \gamma</math> si ha, quindi, che <math>\left\vert \frac{\zeta-z_{0}}{z-z_{0}} \right\vert < 1</math> per ogni <math>\zeta \in \gamma_{1}</math> e <math> \left\vert \frac{\zeta-z_{0}}{z-z_{0}} \right\vert > 1</math> per ogni <math>\zeta \in \gamma_{2}.</math> Aprendo ora le due curve <math>\gamma_{1}</math> e <math>\gamma_{2}</math> in un punto e uniamoleunendole con due curve <math>\delta_{1}</math> e <math>\delta_{2}</math> arbitrariamente vicine., Abbiamosi ottenutoottiene una nuova curva chiusa <math>\Gamma\equiv=\gamma_{1}\cup-\gamma_{2}\cup\delta_{1}\cup\delta_{2}.</math> allSui punti interni dell'internoinsieme dellache qualeha <math>\Gamma</math> come frontiera si ha che <math>f(z)</math> è olomorfa, perché <math>\Gamma \subset C_{r,R}</math>. PossoSi orapuò quindi sfruttareusare la rappresentazione integrale di Cauchy, ricordando che i contributi delle curve <math>\delta_{1}</math> e <math>\delta_{2}</math> si annullano a vicenda: infatti, essendo <math>f(z)</math> olomorfa su <math>\Gamma</math>, è ivi continua, e nei due tratti arbitrariamente vicini assume valori arbitrariamente vicini, che si annullano a vicenda perché le due curve sono percorse in versi opposti:

:<math>\begin{align}

f(z)&=\frac{1}{2 \pi i}\oint_{\Gamma}\frac{f_{f(\zeta})}{(\zeta-z)}d\zeta=\frac{1}{2 \pi i}\oint_{\gamma_{1}\cup-\gamma_{2}}\frac{f_{f(\zeta})}{(\zeta-z_{0}-z+z_{0})}d\zeta=\\

&=\frac{1}{2 \pi i}\left(\oint_{\gamma_{1}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_{0})-(z-z_{0})}d\zeta+\oint_{-\gamma_{2}}\right)\frac{f_{f(\zeta})}{(\zeta-z_{0})-(z-z_{0})}d\zeta\right)=\\

&=\frac{1}{2 \pi i}\left(\oint_{\gamma_{1}}\frac{f_{f(\zeta})}{(\zeta-z_{0})}\left(1-\frac{z-z_{0}}{\zeta-z_{0}}\right)^{-1}d\zeta-\oint_{\gamma_{2}}\frac{f_{f(\zeta})}{(z-z_{0})}\left(\frac{\zeta-z_{0}}{z-z_{0}}-1\right)^{-1}d\zeta\right)=\\

&=\frac{1}{2 \pi i}\left(\oint_{\gamma_{1}}\frac{f_{f(\zeta})}{(\zeta-z_{0})}\left(1-\frac{z-z_{0}}{\zeta-z_{0}}\right)^{-1}d\zeta+\oint_{\gamma_{2}}\frac{f_{f(\zeta})}{(z-z_{0})}\left(1-\frac{\zeta-z_{0}}{z-z_{0}}\right)^{-1}d\zeta\right).

Per le proprietà sopra enunciate possiamosi possono espandere i termini <math>\left( 1-\frac{z-z_{0}}{\zeta-z_{0}} \right)^{-1}</math> e <math>\left( 1-\frac{\zeta-z_{0}}{z-z_{0}} \right)^{-1}</math> in serie convergenti:

:<math>\begin{align}

f(z)&=\frac{1}{2 \pi i}\left(\oint_{\gamma_{1}}\frac{f_{f(\zeta})}{(\zeta-z_{0})}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-z_{0}}{\zeta-z_{0}}\right)^{n}d\zeta+\oint_{\gamma_{2}}\frac{f_{f(\zeta})}{(z-z_{0})}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{\zeta-z_{0}}{z-z_{0}}\right)^{k}d\zeta\right)=\\

&=\frac{1}{2 \pi i}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\oint_{\gamma_{1}}\frac{f_{f(\zeta})}{(\zeta-z_{0})^{n+1}}(z-z_{0})^{n}d\zeta+\sum_{k=0}^{\infty}\oint_{\gamma_{2}}\frac{f_{f(\zeta})}{(\zeta-z_{0})^{-k}}(z-z_{0})^{-(k+1)}d\zeta\right)=\\

&=\frac{1}{2 \pi i}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\oint_{\gamma_{1}}\frac{f_{f(\zeta})}{(\zeta-z_{0})^{n+1}}(z-z_{0})^{n}d\zeta+\sum_{k=1}^{\infty}\oint_{\gamma_{2}}\frac{f_{f(\zeta})}{(\zeta-z_{0})^{1-k}}(z-z_{0})^{-k}d\zeta\right)=\\

&=\frac{1}{2 \pi i}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\oint_{\gamma_{1}}\frac{f_{f(\zeta})}{(\zeta-z_{0})^{n+1}}(z-z_{0})^{n}d\zeta+\sum_{n=-\infty}^{-1}\oint_{\gamma_{2}}\frac{f_{f(\zeta})}{(\zeta-z_{0})^{n+1}}(z-z_{0})^{n}d\zeta\right).

AdessoQuindi possosi sfruttarepuò usare il fatto che deformando le curve <math>\gamma_{1}</math> e <math>\gamma_{2}</math> con continuità possopossono farleessere fatte coincidere con <math>\gamma</math> senza che le condizioni che ho ottenutoottenute in precedenza vengano meno, e quindi senza perdere la convergenza delle serie:

:<math>\begin{align}

f_{f(z})&=\frac{1}{2 \pi i}\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\oint_{\gamma}\frac{f_{f(\zeta})}{(\zeta-z_{0})^{n+1}}(z-z_{0})^{n}d\zeta\right)=\\

&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2 \pi i}\oint_{\gamma}\frac{f_{f(\zeta})}{(\zeta-z_{0})^{n+1}}d\zeta\right)(z-z_{0})^{n} \equiv \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}(z-z_{0})^{n}.

:<math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n ( z - c )^n,</math>

:<math>f(z) = {1 \over (z-1)(z-2i)}={1 \over (1-2i)(z-1)}+{1 \over (2i-1)(z-2i)}.</math>

* Entrambi i punti di singolarità sono poli del primo ordine (poli semplici): scrivendo la serie di Laurent si dovrà quindi riscontrare una parte singolare composta unicamente dal termine di grado <math>k=-1</math> con coefficiente residuale <math>c_{-1}.</math> .

:<math>f(z) ={1 \over (1-2i)(z-1)} + \frac{1}{(1-2i)^2} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{(1-2i)^k}(z-1)^k=\frac{1}{(1-2i)^2} \sum_{k=-1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{(1-2i)^k}(z-1)^k.</math>.

:<math>f(z) ={1 \over (2i-1)(z-2i)} + \frac{1}{(1-2i)^2} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{(2i-1)^k}(z-2i)^k=\frac{1}{(1-2i)^2} \sum_{k=-1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{(2i-1)^k}(z-2i)^k.</math>.

:<math>\ell := \underset{k \to +\infty}{\lim}{\sqrt[k]{|a_k|}}=\underset{k \to +\infty}{\lim}{\sqrt[k]{\frac{|(-1)^{k+1}|}{|(2i-1)^k|}}}=\frac{1}{|2i-1|}=\frac{1}{|1-2i|} \to r=\frac{1}{\ell}=|2i-1|,</math>

:<math>d(z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|=|z_{2}-z_{1}| \to r=d(z_{1},z_{2}).</math>

:<math>f(z) = \frac{1+2i}{5} \sum_{k=1}^\infty \frac{1-(2i)^{k-1}}{z^k}.</math>

:<math>f(z) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n,</math>

:<math>a_n = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(\xi)}{(\xi - z_0)^{n+1}} d \xi,</math>