Sistema di coordinate: differenze tra le versioni

→‎Base coordinata: Stavo ripetendo l'argomento e ho cercato di fare un po' di chiarezza su quale fosse la base vettoriale definita "mediante i vettori tangenti alle linee coordinate". Credo di non essermi espresso nel modo più chiaro possibile e forse ho introdotto notazioni pesanti ma spero che qualcun altro venga a rivedere e faccia un po' di chiarezza!
(→‎Base coordinata: Stavo ripetendo l'argomento e ho cercato di fare un po' di chiarezza su quale fosse la base vettoriale definita "mediante i vettori tangenti alle linee coordinate". Credo di non essermi espresso nel modo più chiaro possibile e forse ho introdotto notazioni pesanti ma spero che qualcun altro venga a rivedere e faccia un po' di chiarezza!)
 
==== Base coordinata ====
A partire dal [[sistema di coordinate sferiche]] si può definire una nuova base vettoriale in ogni punto dello spazio mediante i vettori tangenti alle linee coordinate. Questa nuova base può relazionarsi con la base fondamentale in coordinate cartesiane mediante le seguenti relazioni:
 
In questo caso, detto <math>\tilde{X}(r, \theta, \phi) = (r \sin(\theta) \cos(\phi), r \sin(\theta) \sin(\phi), r \cos(\phi)) = (x,y,z)</math>, la base naturale dello spazio tangente (isomorfo ad <math>\R^3</math>) è data dai tre vettori:
 
<math>\frac{\partial\tilde{X}}{\partial{r}} = \begin{pmatrix} \sin\theta \cos\phi \\ \sin\theta \sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} \equiv \widehat{r} \; ; \; \frac{\partial\tilde{X}}{\partial{\theta}} = \begin{pmatrix} r \cos\theta \cos\phi \\ r \cos\theta \sin\phi \\ -r \sin\theta \end{pmatrix} \equiv r\,\widehat{\theta} \; ; \; \frac{\partial\tilde{X}}{\partial{\phi}} = \begin{pmatrix} -r \sin\theta \sin\phi \\ r \sin\theta \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} \equiv r \sin\theta \,\widehat{\phi}
</math>.
 
Definendo inoltre <math>R_{i,j} = \begin{pmatrix} \widehat{x} \cdot \widehat{r} & \widehat{x} \cdot \widehat{\theta} & \widehat{x} \cdot \widehat{\phi}\\ \widehat{y} \cdot \widehat{r} & \widehat{y} \cdot \widehat{\theta} & \widehat{y} \cdot \widehat{\phi}\\ \widehat{z} \cdot \widehat{r} & \widehat{z} \cdot \widehat{\theta} & \widehat{z} \cdot \widehat{\phi}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & -sin\phi \\ \sin\theta \sin\phi & \cos\theta\sin\phi & \cos\phi \\ \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \end{pmatrix}
</math>la matrice del cambio di coordinate da <math>\widehat{x_j} = (x,y,z)
</math> a <math>\widehat{x}_j^* = (r,\theta,\phi)
</math>, si ha che un vettore di <math>\R^3</math>può essere scritto nei due sistemi di coordinate come
 
<math>U = \sum_{j=1}^{3} u_j \widehat{x_j} = \sum_{k=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} u_j^* R_{j,k} \widehat{x_k^*}
</math>. Poiché <math>R_{i,j}
</math>manda un sistema di coordinate ortonormali levogiro in un altro, si ha <math>R^TR=\mathbb{Id}_3
</math>.
 
 
Esprimendo in modo esplicito le relazioni tra i versori di base si ottiene:
 
:<math>
\hat{r} = \sin\theta\,\cos\phi\,\hat{x} + \sin\theta\,\sin\phi\,\hat{y} +
</math>
:<math>
\hat{\varphiphi} = -\sin\phi\,\hat{x} + \cos\phi\,\hat{y}
</math>
 
Utente anonimo