Funzione quadratica: differenze tra le versioni
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<math>f(x)=ax^2+bx+c</math>
può essere trasformata in
<math>f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}</math>;
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Siccome il punto di vertice è un massimo o un minimo della funzione quadratica, esso può essere trovato attraverso i teoremi dell'[[analisi matematica]]. Quindi, il punto di vertice deve essere radice della [[derivata]]:
<math>f(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow f'(x)=2ax+b \Rightarrow x=-\frac{b}{2a} </math>
in questo punto la funzione vale
<math>f\left(-\frac{b}{2a}\right)=a\left(-\frac{b}{2a}\right)^{2}+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c = -\frac{b^{2}-4ac}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}</math>
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*Vertice e asse di simmetria in <span style=''color:blue''>blu</span>
*Fuoco e direttrice in <span style=''color:pink>rosa</span>]]
[[File:quadratic_function_graph_complex_roots.svg|thumb|Visualizzazione delle radici complesse di una funzione quadratica: la parabola è ruotata di 180° intorno al suo vertice (<span style=''color:orange''>arancione</span>). Le sue intersezioni con l'asse ''x'' sono ruotati di 90° intorno al loro punto medio e il piano cartesiano è interpretato come il [[piano complesso]]<ref>{{cita web|url=http://math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10005.1.shtml|titolo=Complex Roots Made Visible - Math Fun Facts|accesso=1º ottobre 2016}}</ref>]]
Le radici (o zeri) di una funzione in una variabile sono i valori di <math>x</math> per i quali <math>f(x)=0</math>. Per il [[teorema fondamentale dell'algebra]] per una funzione quadratica le radici sono due (eventualmente coincidenti). Attraverso il [[completamento del quadrato]] si trova che:
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==Radice quadrata della funzione in una variabile==
La funzione data dalla [[radice quadrata]] di una funzione quadratica in una variabile ha forma <math>f(x)=\sqrt{ax^{2}+bx+c}</math> ed ha come grafico una [[ellisse]] o una [[Iperbole (geometria)|iperbole]].
Se <math>a>0</math> il grafico è un'iperbole. La direzione dell'asse dell'iperbole è determinata dall'ordinata del vertice: se è negativa l'asse trasverso è verticale, se è negativa l'asse trasverso è orizzontale.
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allora <math>f(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c</math> è la soluzione esplicita.
La [[mappa logistica]] <math>x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}) 0\le x_{o} <1 </math> con parametro <math>r \in [2,4] </math> può essere risolta solo in alcuni casi, almeno uno dei quali è [[teoria del caos|caotico]] e uno non lo è. Nel caso caotico <math>r=4</math> la soluzione è
<math>x_{n}=sin^{2}(2^{n}\theta \pi)</math> dove la condizione iniziale <math>\theta</math> è data da <math>\theta=\frac{1}{\pi}sin^{-1}(\sqrt{x_{0}})</math>.
Per <math>\theta</math> [[numero razionale|razionale]], dopo un numero finito di iterazioni, <math>x_n</math> entra in una sequenza periodica. Per <math>\theta</math> [[numero irrazionale|irrazionale]] <math>x_n</math> non si ripete mai con [[effetto farfalla|sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali]]; siccome la maggior parte dei <math>\theta</math> è irrazionale, il comportamento è caotico.
La soluzione della mappa logistica con <math>r=2</math> è <math>x_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(1-2x_{0})^{2^{n}}</math> per <math>x_{0} \in [0, 1)</math>.
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