Campo vettoriale conservativo: differenze tra le versioni

:<math>\frac{\partial V_i}{\partial j}(x,y,z) = \frac{\partial^2 U}{\partial i\, \partial j}(x,y,z) \qquad i,j = x,y,z</math>

 

 

In generale, un campo vettoriale conservativo è una [[Differenziale esatto|1-forma esatta]], ovvero è uguale alla [[derivata esterna]] di una qualche 0-forma (un campo scalare) <math>\phi</math>. Un campo vettoriale irrotazionale è una 1-[[forma chiusa]]. Dal fatto che ogni forma esatta è anche chiusa, in quanto <math>d^2 = 0</math>, segue che un campo vettoriale conservativo è necessariamente irrotazionale, cioè ha la proprietà di compiere un lavoro indipendente dal cammino (ma non è valido il viceversa, poiché un campo non è necessariamente conservativo se il suo rotore è nullo). Inoltre, il dominio è [[Spazio semplicemente connesso|semplicemente connesso]] se e solo se il suo [[Omologia (topologia)|primo gruppo di omologia]] ed il primo [[Coomologia di De Rham|gruppo di coomologia di De Rham]] <math>H_{\mathrm{dR}}^{1}</math> è 0 se e solo se tutte le 1-forme chiuse sono esatte.