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==Definizione==
Dato un sistema meccanico con <math>I</math> gradi di libertà e un qualunque sistema di coordinate, per esempio [[coordinate cartesiane|cartesiane]], nel quale lo stato del sistema è indicato dal vettore <math>\barmathbf x=(x_d)</math>, con <math>d=1,...,D</math>, <math> D\ge I</math>, è possibile esprimere ogni variabile <math>x_d</math> in funzione del vettore <math> \barmathbf rq=(r_iq_i)</math>, con <math>i=1,...,I</math>. Ogni <math>r_iq_i</math> è detta ''variabile'' o ''coordinata generalizzata'':
:<math>
\begin{cases}
x_1 = \phi (r_1q_1, \dots, r_Iq_I)\\
\vdots \\
x_2 = \phi (r_1, \dots , r_I) \\
\dotsx_D \;= \;phi (q_1, \dots \\, q_I)
x_D = \phi (r_1, \dots , r_I)
\end{cases}
</math>
dove <math>\barmathbf r = (r_i)q \in A \subset \mathbb{R}^I</math> con <math>A</math> aperto, e <math>\barunderline \phi : A \longrightarrow \mathbb{R}^D</math> è una funzione regolare. Queste devono costituire necessariamente un [[insieme di generatori]] dello [[spazio vettoriale]] <math>I</math>-dimensionale delle configurazioni del sistema, mentre non è necessario che siano [[linearmente indipendenti]]. Ciò non è vero ad esempio in presenza di [[Vincolo (meccanica razionale)|vincoli]] che legano tra di loro alcune tra le <math>x_i</math>. Le coordinate generalizzate possono quindi anche essere rappresentate da grandezze diverse da posizioni o angoli, per esempio dall'energia meccanica o dal volume del sistema.
===Esempi===
Un sistema di ''<math>N''</math> particelle nello spazio <math>D</math>-dimensionale può avere fino a ''<math>N\times D''</math> gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate (una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella). Un sistema di ''<math>N</math>'' corpi rigidi può avere fino a 6''N''<math>6N</math> coordinate generalizzate nello spazio tridimensionale, includendo 3 assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni delle particelle (vincoli olonomi) e le velocità (vincoli anolonomi). Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio <math>3D</math> ha 6 gradi di libertà (3 per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella), ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 vincolo). Una scelta conveniente delle variabili lagrangiane consiste in questo caso nell'usarne tre per localizzare il [[centro di massa]] del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.
Un corpo costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale (es. una [[Curva_(matematica)|curva]] regolare <math>\phi(t), \phi:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3,\ t\mapsto\mathbf x</math>) ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea <math>q=t</math>, cioè la variabile che parametrizza la curva. Da notare che un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.
Analogamente un corpo vincolato ad una [[superficie (matematica)|superficie]] ha due gradi di libertà, anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è <math>\lbrace r_1,r_2\rbrace = \lbrace \theta,\phi \rbrace </math>, dove <math>\theta</math> e <math>\phi</math> sono le coordinate di angolo provenienti dalle [[coordinate sferiche]]. La coordinata <math>r</math> è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.
La coordinata <math>r</math> è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.
Un doppio [[pendolo]] costretto a muoversi su un piano può essere descritto, in un sistema di assi cartesiani <math>(x,y)</math>, con l'asse ''<math>y''</math> verticale discendente, da quattro [[coordinate cartesiane]] <math>\lbrace x_1,y_1,x_2,y_2\rbrace</math>, ma il sistema ha solo due [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]], ed un sistema più efficiente potrebbe essere quello di considerare come variabili lagrangiane l'angolo che ciascun pendolo forma con la verticale. Ponendo <math>\lbrace r_1,r_2\rbrace = \lbrace\theta_1,\theta_2 \rbrace</math> otteniamo le seguenti relazioni:
:<math>\lbrace x_1, y_1 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1, l_1\cos\theta_1 \rbrace</math>
:<math>\lbrace x_2, y_2 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1 + l_2\sin\theta_2 , l_1\cos\theta_1 + l_2\cos\theta_2 \rbrace</math>
==Velocità generalizzata==
{{vedi anche|Spazio delle fasi}}
Ogni coordinata generalizzata <math>r_iq_i</math> è associata a una velocità generalizzata <math>\dot r_iq_i</math>, definita come:
:<math>\dot r_iq_i = \stackrelfrac{\mathrm{\Delta}partial q_i}{=}{dr_i \overpartial dtt}</math>
Nell'ipotesi in cui le coordinate sono [[indipendenza lineare|linearmente indipendenti]] fra loro, esse dipendono solo dal tempo:
:<math>\dot r_iq_i=\frac{\partial r_i \over \partial tdq_i}{dt}</math>
Sia dato un sistema di <math>N</math> particelle in <math>D</math> [[dimensioni]], quindi con al massimo <math>NDN\times D</math> gradi di libertà. L'n-esima particella ha come coordinata d-esima <math>(X_{nd})</math>, e quindi le posizioni del sistema sono rappresentabili come una [[matrice]] <math>X \in \mathbb{R}^{N \times D}</math>. Si può passare ad un sistema di riferimento formato da <math>NDN\times D</math> coordinate generalizzate se esistono le <math>D+1</math> equazioni di trasformazione tra le <math>D</math> coordinate cartesiane e le generalizzate:
:<math>x_d = x_d \left (r_nq_n, t \right )</math>
Queste equazioni possono infatti essere derivate nel tempo, ottenendo le [[velocità]]:
:<math>\begin{align}\dot x_d
:<math>\begin{align}\dot x_d &\stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \frac {d}{dt} x_d \left (r_n, t \right)\\ &=\sum_{i=1}^{ND}\frac{\partial x_d}{\partial r_i}{\partial r_i \over \partial t}+\frac{\partial x_d}{\partial t}\\ &= \sum_{i=1}^{ND}\frac{\partial x_d}{\partial r_i}\dot r_i+\frac{\partial x_d}{\partial t}
& = \frac {d}{dt} x_d \left (q_n, t \right) = \\
&=\sum_{i=1}^{ND}\frac{\partial x_d}{\partial q_i}{\partial q_i \over \partial t}+\frac{\partial x_d}{\partial t} = \\
&= \sum_{i=1}^{ND}\frac{\partial x_d}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial x_d}{\partial t}
\end{align}
</math>
e quindi il vettore '''<math>D</math>'''-dimensionale velocità è dato da:
:<math>\dot {\barmathbf x}_{(\dot {\barmathbf r})} = \nabla \barmathbf x \cdot \dot {\barmathbf rq} + \frac{\partial \barmathbf x}{\partial t}</math>
==Quantità di moto generalizzata e momento coniugato alla coordinata posizione==
La quantità di moto generalizzata è definita come grandezza corrispondente alle [[quantità di moto]] newtoniane:
:<math>q_iP_i \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \sum_{nk = 1}^N p_np_k \frac{\partial \barmathbf x_nx_k}{\partial r_iq_i} =
\sum_{nk = 1}^N m_nm_k \dot {\barmathbb x}_n_k \frac{\partial \dot {\barmathbb x}_n}{\partial \dot r_iq_i} =
\frac{\partial}{\partial \dot q_i} {\sum_{nk = 1}^N \frac{1}{2}m_nm_k \dot {\barmathbf x}_n^2}}{\partial \dot r_i}</math>
Risulta che:
:<math>q_iP_i = \frac{\partial T}{\partial \dot r_iq_i}=\sum_{j = 1}^I H_{ij} T_{(\bar 0)} \dot r_jq_j + \nabla_i T_{(\bar 0)} </math>
Quest'ultima equivalenza può essere comprovata utilizzando la dimostrazione delle [[equazioni di Lagrange]]. La quantità di moto generalizzata vale dunque:
:<math>\barmathbf q_P_{(\dot {\barmathbf rq})} = \barmathbf H T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\barmathbf rq} + \nabla T_{(\bar 0)} </math>
Si tratta di una forma lineare dell'energia cinetica nelle velocità generalizzate. Per un sistema olonomo, in particolare, risulta:
:<math>\barmathbf q_P_{(\dot {\barmathbf rq})} = \barmathbf H T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\barmathbf rq}</math>
Si deve porre attenzione nel legare quantità di moto generalizzate e forze generalizzate, in quanto le quantità di moto lagrangiane sono in base alle equazioni di Lagrange del I tipo:
:<math>q_iP_i = \int F_i - \frac{\partial T}{\partial r_iq_i} dt = p_i - \int \frac{\partial T}{\partial r_iq_i} dt</math>
e differiscono quindi per il secondo termine <math> - \int\frac{\partial T}{\partial r_iq_i} dt</math> dal '''momento coniugato''' (alla coordinata posizione <math> q_i</math>) <math>p_i = \int F_i dt</math>, cui si arriverebbe tentando di generalizzare la definizione newtoniana di [[forza]] come derivata totale temporale della quantità di moto, cioè il [[secondo principio della dinamica]].
In [[coordinate cartesiane]], la quantità di moto generalizzata ritorna chiaramente la [[quantità di moto]] semplice, mentre in [[coordinate sferiche]] diventa il [[momento angolare]]. In generale però non è sempre possibile darne un'interpretazione intuitiva.
==Energia cinetica in coordinate generalizzate==
L'energia cinetica di '''<math>N</math>''' particelle è data in [[meccanica newtoniana]] '''<math>D</math>'''-dimensionale come:
:<math> T : \R^{N \times D} \to \R </math>
:<math>T_{(\dot {\barmathbf x})} \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \frac {1}{2} \sum_{nk=1}^{N} m_nm_k \dot {\barmathbf x}_n_k \cdot \dot {\barmathbf x}_n_k </math>
Esprimendo gli '''<math>N</math>''' vettori posizione newtoniani <math>\barmathbf x_{(\barmathbf rq)}</math> (delle particelle rispetto ai '''<math>D</math>''' assi cartesiani) in funzione delle '''<math>I</math>''' coordinate lagrangiane <math>r_iq_i</math>:
:<math>T_{(\dot {\barmathbf rq})}=\frac {1}{2} \sum_{nk=1}^{N}m_nm_k \left(\frac{\partial \barmathbb x_nx_k}{\partial t} + \sum_{i=1}^{I}\frac{\partial \barmathbf x_nx_k}{\partial r_iq_i}\dot r_iq_i\right)\cdot
\left(\frac{\partial \barmathbf x_nx_k}{\partial t} + \sum_{j=1}^{I}\frac{\partial \barmathbf x_nx_k}{\partial r_jq_j}\dot r_jq_j\right) </math>.
Svolgendo e raccogliendo nelle velocità generalizzate <math>\dot r_i</math>:
:<math>T_{(\dot {\barmathbf rq})}= \frac{1}{2} \sum_{nk = 1}^N {m_nm_k} \left(\frac{\partial \barmathbf x_nx_k}{\partial t}\right)^2+ \sum_{i=1}^{I}\sum_{nk = 1}^N {m_nm_k} \frac{(\partial \barmathbf x_nx_k)^2}{\partial r_it\, \partial tq_i} \dot r_iq_i +
\frac{1}{2}\sum_{i, j=1}^{I} \sum_{nk = 1}^N {m_nm_k} \frac{(\partial \barmathbf x_n)^2}{\partial r_iq_i \partial r_jq_j} \dot r_iq_i \dot r_jq_j </math>
se :<math>\quad T_{(\bar 0)} \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \quad \frac{1}{2}\sum_{nk = 1}^N {m_nm_k} \left(\frac{\partial \barmathbf x_nx_k}{\partial t}\right)^2,; </math>
:<math> \quad \nabla_i T_{(\bar 0)} \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \quad \frac{\partial}{\partial r_iq_i} \sum_{nk = 1}^N m_nm_k \barmathbf x_nx_k \frac{\partial \barmathbf x_nx_k}{\partial t} = \sum_{nk = 1}^N {m_nm_k} \frac{(\partial \barmathbf x_nx_k)^2}{\partial r_iq_i \partial t}, \, </math> per sistemi classici in cui la massa non dipende dalle coordinate generalizzate: <math>\nabla m_nm_k = \bar 0, \, </math>
:<math>\quad \bar \bar H_{ij} T_{(\bar 0)} \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \quad \frac{{\partial}^2}{\partial r_iq_i \partial r_jq_j} \sum_{nk = 1}^N m_nm_k (\barmathbf x_nx_k)^2 = \sum_{nk = 1}^N {m_nm_k} \frac{(\partial \barmathbf x_nx_k)^2}{\partial r_iq_i \partial r_jq_j}, \, </math> per sistemi classici in cui la [[Massa (fisica)|massa]] non dipende dalle coordinate generalizzate: <math>\bar underline{\barunderline H} m_nm_k = \bar 0.</math>
Quindi riassumendo vettorialmente l'identità scalare:
:<math>T_{(\dot {\barmathbf r})}= T_{(\bar 0)} + \sum_{i=1}^{I}\nabla_i T_{(\bar 0)} \dot r_iq_i + \frac{1}{2}\sum_{i, j=1}^{I} H_{ij} T_{(\bar 0)} \dot r_iq_i \dot r_jq_j</math>
si ottiene infine:
:<math>T_{(\dot {\barmathbf rq})}= T_{(\bar 0)} + \nabla T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\barmathbf rq} + \frac{1}{2} \dot {\barmathbf rq} \cdot \barunderline \barunderline H T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\barmathbf rq} </math>
:<math> T : \R^I \to \R </math>
L'energia cinetica in coordinate lagrangiane è in conclusione una [[ Serie di Taylor#Serie di Taylor in più variabili|serie di Taylor in I variabili]] [[forma quadratica|del second'ordine]] nel vettore velocità <math>\dot {\barmathbf rq}</math>, definita positiva poiché lo è l'[[hessiana]] <math>H</math> che vi compare. Inoltre i due termini lineare <math>\nabla T_{(\bar 0)}</math> e costante <math>T_{(\bar 0)}</math> dipendono in generale dal tempo: nel caso di un '''Hsistema olonomo''' chel'energia vicinetica compare.si riduce a
Inoltre i due termini lineare <math>\nabla T_{(\bar 0)}</math> e costante <math>T_{(\bar 0)}</math> dipendono in generale dal tempo: nel caso di un '''sistema olonomo''' l'energia cinetica si riduce a
:<math>\left.T\right|_{\left(\frac{\partial \barmathbf x_nx_k}{\partial t} = 0\right)} = \frac{1}{2} \dot {\barmathbf rq} \cdot
\barunderline \barunderline H_{(\dot {\barmathbf r})}T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\barmathbf rq} = \frac{1}{2} \barmathbf p \cdot \dot {\barmathbf rq}</math>
È importante ricordare che le coordinate lagrangiane rispetto a cui si determina l'energia cinetica hanno l'ulteriore vantaggio di non dovere necessariamente essere [[sistema di riferimento inerziale|inerziali]], a differenza di quelle cartesiane.
==Forza generalizzata==
Le forze generalizzate sono definite come in numero di '''<math>I'''</math> [[grandezze scalari]], con '''<math>I</math>''' il grado di libertà del sistema:
:<math>F_i \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \frac{\partial W}{\partial r_iq_i} = \sum_{nk = 1}^N \barmathbf F_nF_k \cdot \frac{\partial \barmathbf x_nx_k}{\partial r_iq_i},</math>
Dove '''<math>W'''</math> è il [[lavoro]] della [[forza risultante|risultante]] attiva '''<math>\mathbf F'''</math> agente sul sistema. Si tratta quindi in termini newtoniani per variabili lunghezza e angolo rispettivamente delle grandezze [[forza]] e [[momento meccanico]] prese lungo la variabile, nel caso più generale di una combinazione delle due.
Nel caso di [[vincolo|vincoli]] bilaterali permettono di ignorare nell'analisi del sistema le [[reazioni vincolari]] (di risultante '''<math>\mathbf R</math>'''), anche per '''sistemi scleronomi''': dato uno [[spostamento virtuale]] <math>\delta x_nx_k</math>, ottenuto considerando solo gli spostamenti ammissibili con i vincoli considerati come ''fissi'' all'istante di riferimento, il [[lavoro virtuale]] agente sull'n-esima particella del sistema vale:
:<math>\delta W_nW_k=(\barmathbf F_nF_k+\barmathbf R_nR_k)\cdot \bar mathbf{\delta \bar x_nx}_k</math>
Se i vincoli del sistema sono bilaterali, per il [[principio delle reazioni vincolari]] i lavori virtuali vincolari sono nulli, e cioè le reazioni sono ortogonali agli spostamenti virtuali:
:<math>\delta W_{i}=F_i\cdot \delta \barmathbf x_i</math>
Esprimendo <math>\delta mathbf{\bardelta x_nx}_k</math> in funzione delle coordinate generalizzate <math>r_iq_i</math>, e ricordando che <math>\frac{\partial \barmathbf x_nx_k}{\partial t}=0</math> per definizione di spostamento virtuale:
:<math>\delta W_{n}W_k=\sum_{i=1}^I \barmathbf F_nF_k\cdot \frac{\partial \barmathbf x_nx_k}{\partial r_iq_i}\delta r_iq_i=\sum_{i=1}^I F_{nk,i} \cdot \delta r_iq_i</math>
Il lavoro virtuale sulla particella sottoposta a vincoli bilaterali è cioè interamente calcolabile tramite le forze generalizzate agenti su di essa. A livello [[ingegneria|ingegneristico]] dove è necessario risalire allo sforzo che dovrebbe essere fatto da tutte le forze non vincolari se il sistema subisse uno [[spostamento virtuale]] <math>\delta q_h</math>, oppure alle [[sollecitazioni esterne]] imposte realmente dai vincoli, l'approccio Lagrangiano risulta quindi particolarmente utile.
A livello [[ingegneria|ingegneristico]] dove è necessario risalire allo sforzo che dovrebbe essere fatto da tutte le forze non vincolari se il sistema subisse uno [[spostamento virtuale]] <math>\delta r_h</math>, oppure alle [[sollecitazioni esterne]] imposte realmente dai vincoli, l'approccio Lagrangiano risulta quindi particolarmente utile.
In base alle [[equazioni di Lagrange]] del I tipo e in [[forma di Nielsen]] si può legare la forza generalizzata all'energia cinetica del sistema:
<math>F_i = \dot p_i = {\partial{T}\over \partial{\dot r_i}} - 2 {\partial{T}\over \partial r_i}</math>,
:<math>F_i = \dot p_i = {\partial{T}\over \partial{\dot q_i}} - 2 {\partial{T}\over \partial q_i}</math>,
Si noti ancora che la forza generalizzata differisce in generale per il secondo termine <math> - \frac{\partial T}{\partial r_iq_i}</math> dalla derivata temporale della quantità di moto <math>\dot q_iP_i</math>, cui si arriverebbe erroneamente inducendo una generalizzazione da una definizione di [[forza]] basata sul [[secondo principio della dinamica]], valida solo per la dinamica newtoniana.
==Bibliografia==
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