Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni
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==Definizione==
Dato un sistema meccanico con <math>
:<math>
\begin{cases}
\vdots \\
\end{cases}
</math>
dove <math>\mathbf q \in A \subset \mathbb{R}^
===Esempi===
Un sistema di <math>N</math> particelle nello spazio <math>D</math>-dimensionale può avere fino a <math>N\times D</math> gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate (una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella). Un sistema di ''<math>N</math>'' corpi rigidi può avere fino a <math>6N</math> coordinate generalizzate nello spazio tridimensionale, includendo 3 assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni delle particelle (vincoli olonomi) e le velocità (vincoli anolonomi). Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio <math>3D</math> ha 6 gradi di libertà (3 per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella), ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 vincolo). Una scelta conveniente delle variabili lagrangiane consiste in questo caso nell'usarne tre per localizzare il [[centro di massa]] del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.
Un corpo costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale (es. una [[Curva_(matematica)|curva]] regolare <math>\
Analogamente un corpo vincolato ad una [[superficie (matematica)|superficie]] ha due gradi di libertà, anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è <math>\lbrace r_1,r_2\rbrace = \lbrace \theta,\phi \rbrace </math>, dove <math>\theta</math> e <math>\phi</math> sono le coordinate di angolo provenienti dalle [[coordinate sferiche]]. La coordinata <math>r</math> è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.
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:<math>\dot q_i=\frac{dq_i}{dt}</math>
Sia dato un sistema di <math>N</math> particelle in <math>D</math> [[dimensioni]], quindi con al massimo <math>N\times D</math> gradi di libertà. L'n-esima particella ha come coordinata d-esima <math>(X_{nd})</math>, e quindi le posizioni del sistema sono rappresentabili come una [[matrice]] <math>\underline\underline X \in \mathbb{R}^{N \times D}</math>. Si può passare ad un sistema di riferimento formato da <math>N\times D</math> coordinate generalizzate se esistono le <math>D+1</math> equazioni di trasformazione tra le <math>D</math> coordinate cartesiane e le generalizzate:
:<math>x_d = x_d \left (q_n, t \right )</math>
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