Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni

m
piccole correzioni
mNessun oggetto della modifica
m (piccole correzioni)
 
==Definizione==
Dato un sistema meccanico con <math>In</math> gradi di libertà e un qualunque sistema di coordinate, per esempio [[coordinate cartesiane|cartesiane]], nel quale lo stato del sistema è indicato dal vettore <math>\mathbf xr=(x_dr_j)</math>, con <math>d_{j=1,...\dots,Dm}</math>, con <math> Dm\gegeq In</math>, è possibile esprimere ogni variabile <math>x_dr_j</math> in funzione del vettore <math> \mathbf q=(q_i)</math>, con <math>_{i=1,...\dots,In}</math>. Ogni <math>q_i</math> è detta ''variabile'' o ''coordinata generalizzata'':
 
:<math>
\begin{cases}
x_1r_1 = \phivarphi (q_1, \dots, q_Iq_n)\\
\vdots \\
x_Dr_m = \phivarphi (q_1, \dots , q_Iq_n)
\end{cases}
</math>
 
dove <math>\mathbf q \in A \subset \mathbb{R}^In</math> con <math>A</math> aperto, e <math>\underline \phivarphi : A \longrightarrow \mathbb{R}^Dm</math> è una funzione regolare. Queste devono costituire necessariamente un [[insieme di generatori]] dello [[spazio vettoriale]] <math>I</math>n-dimensionale delle configurazioni del sistema, mentre non è necessario che siano [[linearmente indipendenti]]. Ciò non è vero ad esempio in presenza di [[Vincolo (meccanica razionale)|vincoli]] che legano tra di loro alcune tra le <math>x_i</math>. Le coordinate generalizzate possono quindi anche essere rappresentate da grandezze diverse da posizioni o angoli, per esempio dall'energia meccanica o dal volume del sistema.
 
===Esempi===
Un sistema di <math>N</math> particelle nello spazio <math>D</math>-dimensionale può avere fino a <math>N\times D</math> gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate (una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella). Un sistema di ''<math>N</math>'' corpi rigidi può avere fino a <math>6N</math> coordinate generalizzate nello spazio tridimensionale, includendo 3 assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni delle particelle (vincoli olonomi) e le velocità (vincoli anolonomi). Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio <math>3D</math> ha 6 gradi di libertà (3 per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella), ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 vincolo). Una scelta conveniente delle variabili lagrangiane consiste in questo caso nell'usarne tre per localizzare il [[centro di massa]] del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.
 
Un corpo costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale (es. una [[Curva_(matematica)|curva]] regolare <math>\phivarphi : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3,\ t\mapsto\mathbf x</math>) ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea <math>q=t</math>, cioè la variabile che parametrizza la curva. Da notare che un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.
 
Analogamente un corpo vincolato ad una [[superficie (matematica)|superficie]] ha due gradi di libertà, anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è <math>\lbrace r_1,r_2\rbrace = \lbrace \theta,\phi \rbrace </math>, dove <math>\theta</math> e <math>\phi</math> sono le coordinate di angolo provenienti dalle [[coordinate sferiche]]. La coordinata <math>r</math> è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.
:<math>\dot q_i=\frac{dq_i}{dt}</math>
 
Sia dato un sistema di <math>N</math> particelle in <math>D</math> [[dimensioni]], quindi con al massimo <math>N\times D</math> gradi di libertà. L'n-esima particella ha come coordinata d-esima <math>(X_{nd})</math>, e quindi le posizioni del sistema sono rappresentabili come una [[matrice]] <math>\underline\underline X \in \mathbb{R}^{N \times D}</math>. Si può passare ad un sistema di riferimento formato da <math>N\times D</math> coordinate generalizzate se esistono le <math>D+1</math> equazioni di trasformazione tra le <math>D</math> coordinate cartesiane e le generalizzate:
 
:<math>x_d = x_d \left (q_n, t \right )</math>