Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m piccola correzione |
mNessun oggetto della modifica |
||
Riga 4:
==Definizione==
Dato un sistema meccanico con <math>n</math> gradi di libertà e un qualunque sistema di coordinate, per esempio [[coordinate cartesiane|cartesiane]], nel quale lo stato del sistema è indicato dal vettore <math>\mathbf r=(r_j)_{j=1,\dots,m}\in\mathbb{R}^m</math>, con <math> m\geq n</math>, è possibile esprimere ogni variabile <math>r_j</math> in funzione del vettore <math> \mathbf q=(q_i)_{i=1,\dots,n}\in A\subset\mathbb{R}^n</math> attraverso una <math>\underline \varphi : A \to \mathbb{R}^m</math> funzione regolare. Ogni <math>q_i</math> è detta ''variabile'' o ''coordinata generalizzata'':
:<math>
Riga 14:
</math>
===Esempi===
Riga 30:
dove <math>l_1</math> è la lunghezza del pendolo vincolato all'origine e <math>l_2</math> è la lunghezza del pendolo vincolato all'estremità libera dell'altro.
==Coordinate generalizzate e spazio delle fasi==
==Velocità generalizzata==▼
{{vedi anche|Spazio delle fasi}}
Ogni coordinata generalizzata <math>q_i</math> è associata a una velocità generalizzata <math>\dot q_i</math>, definita come:
Riga 40:
:<math>\dot q_i=\frac{dq_i}{dt}</math>
infine, vale che <math>\dot\mathbf q = (\dot q_i)_{i=1,\dots,n}</math>. Si definisce [[Lagrangiana]] la funzione:
:<math>\mathcal{L}(\dot\mathbf q, \mathbf q) = T(\dot\mathbf q, \mathbf q) - U(\mathbf q)</math>
dove <math>T</math> è l'energia cinetica e <math>U</math> è l'energia potenziale. Si definisce quantità di moto, o momento lineare, ''coniugata'' alla coordinata <math>q_i</math>il vettore:
:<math>p_i = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot q_i}</math>
inoltre vale che <math>\mathbf p = (p_i)_{i=1,\dots,n}</math>. Secondo la [[Meccanica lagrangiana|formulazione lagrangiana]] della meccanica, come generatori dello spazio delle fasi si usa la coppia <math>(\mathbf q,\dot\mathbf q)</math>, mentre secondo la [[Meccanica hamiltoniana|formulazione hamiltoniana]], si utilizza la coppia <math>(\mathbf q, \mathbf p)</math>.
▲== Velocità generalizzata ==
Sia dato un sistema di <math>N</math> particelle in <math>D</math> [[dimensioni]], quindi con al massimo <math>N\times D</math> gradi di libertà. L'n-esima particella ha come coordinata d-esima <math>(X_{nd})</math>, e quindi le posizioni del sistema sono rappresentabili come una [[matrice]] <math>\underline\underline X \in \mathbb{R}^{N \times D}</math>. Si può passare ad un sistema di riferimento formato da <math>N\times D</math> coordinate generalizzate se esistono le <math>D+1</math> equazioni di trasformazione tra le <math>D</math> coordinate cartesiane e le generalizzate:
:<math>x_d = x_d \left (q_n, t \right )</math>
:<math>\begin{align}\dot x_d
Line 80 ⟶ 91:
:<math>P_i = \int F_i - \frac{\partial T}{\partial q_i} dt = p_i - \int \frac{\partial T}{\partial q_i} dt</math>
e differiscono quindi per il secondo termine <math> - \int\frac{\partial T}{\partial q_i} dt</math> dal
In [[coordinate cartesiane]], la quantità di moto generalizzata ritorna chiaramente la [[quantità di moto]] semplice, mentre in [[coordinate sferiche]] diventa il [[momento angolare]]. In generale però non è sempre possibile darne un'interpretazione intuitiva.
| |||