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Funzione di densità di probabilità: differenze tra le versioni
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per tutti i sottinsiemi ''A'' dello [[spazio campionario]].
Intuitivamente, se una distribuzione di probabilità ha densità <math>p_X(x)</math>, allora l'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[x,x+\
:<math>p_X(\bar{x}): \bar{x} \mapsto \lim_{
Assumendo <math>x \equiv \bar{x}</math>, ciò corrisponde al limite della probabilità che <math>\bar{x}</math> si trovi nell'intervallo <math>[x,x+\mathrm{
Per la [[Normalizzazione (matematica)|condizione di normalizzazione]] l'integrale su tutto lo spazio di <math>p_X(x)</math> deve essere 1. Di conseguenza ogni funzione non negativa, integrabile secondo Lebesgue, con integrale su tutto lo spazio uguale a 1, è la funzione densità di probabilità di una ben definita distribuzione di probabilità. Una variabile casuale che possiede densità si dice "[[variabile casuale continua]]".
Per le variabili casuali multivariate (o vettoriali) la trattazione formale è assolutamente identica: <math>(X_1,\ldots,X_n)</math> si dice assolutamente continua se esiste una funzione a valori reali definita in <math>\R^n</math>, detta '''densità congiunta''', tale che per ogni sottoinsieme ''A'' dello spazio campionario
:<math>P(X \in A)=\int_A p_{X_1,\ldots,X_n}(x_1,\ldots,x_n)\,\
Essa conserva tutte le proprietà di una densità scalare: è una funzione non negativa a integrale unitario su tutto lo spazio. Una proprietà importante è che se <math>(X_1,\ldots,X_n)</math> è assolutamente continua allora lo è ogni sua componente; il viceversa invece non vale. La densità di una componente, detta '''densità marginale''', si ottiene con un ragionamento analogo al [[teorema della probabilità assoluta]], cioè fissando l'insieme di suoi valori di cui si vuole determinare la probabilità e lasciando libere di variare tutte le altre componenti. Infatti (nel caso bivariato per semplicità) l'evento <math>(X \in A)</math> è l'evento <math>(X \in A, Y \in \R)</math>, dunque
:<math>P(X \in A)=\int_{A \times \R}p_{X,Y}(x,y)\,\
utilizzando il [[teorema di Fubini]]. La densità marginale di
:<math>p_X(x)=\int_{\R}p_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}y</math>.
== Esempi ==
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