Funzione di densità di probabilità: differenze tra le versioni

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per tutti i sottinsiemi ''A'' dello [[spazio campionario]].
Intuitivamente, se una distribuzione di probabilità ha densità <math>p_X(x)</math>, allora l'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[x,x+\operatornamemathrm{d}x]</math> ha probabilità <math>p_X(x)\,\operatornamemathrm{d}x</math>. Da ciò deriva che la funzione <math>p_X(x)</math> è un'applicazione definita come
:<math>p_X(\bar{x}): \bar{x} \mapsto \lim_{dx\mathrm{d}x \to 0} \frac{P(x<\bar{x}<x+dx\mathrm{d}x)}{dx\mathrm{d}x}</math>
Assumendo <math>x \equiv \bar{x}</math>, ciò corrisponde al limite della probabilità che <math>\bar{x}</math> si trovi nell'intervallo <math>[x,x+\mathrm{dxd}x]</math> per <math>dx\mathrm{d}x</math> che tende a zero. Di qui il nome di funzione di 'densità', in quanto essa rappresenta il rapporto tra una probabilità e un'ampiezza.
 
Per la [[Normalizzazione (matematica)|condizione di normalizzazione]] l'integrale su tutto lo spazio di <math>p_X(x)</math> deve essere 1. Di conseguenza ogni funzione non negativa, integrabile secondo Lebesgue, con integrale su tutto lo spazio uguale a 1, è la funzione densità di probabilità di una ben definita distribuzione di probabilità. Una variabile casuale che possiede densità si dice "[[variabile casuale continua]]".
Per le variabili casuali multivariate (o vettoriali) la trattazione formale è assolutamente identica: <math>(X_1,\ldots,X_n)</math> si dice assolutamente continua se esiste una funzione a valori reali definita in <math>\R^n</math>, detta '''densità congiunta''', tale che per ogni sottoinsieme ''A'' dello spazio campionario
 
:<math>P(X \in A)=\int_A p_{X_1,\ldots,X_n}(x_1,\ldots,x_n)\,\operatornamemathrm{d}x_1\ldots \operatornamemathrm{d}x_n</math>
 
Essa conserva tutte le proprietà di una densità scalare: è una funzione non negativa a integrale unitario su tutto lo spazio. Una proprietà importante è che se <math>(X_1,\ldots,X_n)</math> è assolutamente continua allora lo è ogni sua componente; il viceversa invece non vale. La densità di una componente, detta '''densità marginale''', si ottiene con un ragionamento analogo al [[teorema della probabilità assoluta]], cioè fissando l'insieme di suoi valori di cui si vuole determinare la probabilità e lasciando libere di variare tutte le altre componenti. Infatti (nel caso bivariato per semplicità) l'evento <math>(X \in A)</math> è l'evento <math>(X \in A, Y \in \R)</math>, dunque
:<math>P(X \in A)=\int_{A \times \R}p_{X,Y}(x,y)\,\operatornamemathrm{d}x\operatorname,\mathrm{d}y = \int_A \left( \int_{\R}p_{X,Y}(x,y)\,\operatornamemathrm{d}y \right) \,\operatornamemathrm{d}x</math>
utilizzando il [[teorema di Fubini]]. La densità marginale di ''<math>X''</math> è data dunque da <math>p_X(x)=\int_{\R}p_{X,Y}(x,y)\,\operatorname{d}y</math>.
:<math>p_X(x)=\int_{\R}p_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}y</math>.
 
== Esempi ==
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