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In [[fisica]] il '''numero di gradi di libertà''' di un [[punto materiale]] è il numero di variabili indipendenti necessarie per determinare univocamente la sua posizione nello spazio ([[coordinate]] del moto). In effetti il numero di gradi di libertà di un sistema è per definizione pari a quello del numero di [[coordinate generalizzate]] necessario a descrivere il suo moto all'interno dello [[spazio delle configurazioni]]. Un punto materiale libero di muoversi nellolungo spaziouna acurva 3monodimensionale dimensionipossiede hanecessariamente quindi1 '''3''' gradigrado di libertà;, se il punto deve muoversi su un piano odi una superficie (2 dimensioni)bidimensionale ha '''2''' gradi di libertà;, se deve muoversi lungonello unaspazio rettaa otridimensionale unaha curvaquindi (13 dimensione)gradi hadi '''1'''libertà gradoe così via. Queste considerazioni si possono estendere ai sistemi di <math>n</math> punti materiali: se tutti i punti sono liberi di muoversi nello spazio, il sistema avrà <math>3n</math> gradi di libertà. EsistonoEventualmente, moltiil esempinumero di puntigradi soggettidi adlibertà unopuò osubire piùvariazioni a causa della presenza di [[vincolo|vincoli]]:, se sono presenti <math>f</math> vincoli, i gradi di libertà scendono a <math>3n - f</math>.
*una massa attaccata ad un [[pendolo]] può muoversi lungo la superficie di una sfera, quindi ha 2 gradi di libertà ▼*una massa poggiata su un piano e attaccata ad un punto fisso ha 1 grado di libertà perché può muoversi solo lungo una circonferenza ▼e così via.
==Esempi==
Queste considerazioni si possono estendere ai sistemi di ''n'' punti materiali: se tutti i punti sono liberi di muoversi nello spazio, il sistema avrà '''3n''' gradi di libertà. Se sono presenti ''f'' vincoli, i gradi di libertà scendono a ''3n - f''.
Esistono molti esempi di punti o insiemi di punti, che risultano soggetti ad uno o più vincoli. Inoltre può accadere che questi ultimi presentino gradi di vincolo maggiori di 1, ciò significa che sono in grado di bloccare più di una direzione lungo la quale potrebbe avvenire il moto. Alcuni esempi notevoli di corpi vincolati sono:
▲* unaUna massa attaccata ad un [[pendolo]] ha 2 gradi di libertà, perché può muoversi lungo la superficie di una sfera , quindi ha 2 gradi di libertà;
▲* unaUna massa poggiata su un piano e attaccata ad un punto fisso ha 1 grado di libertà , perché può muoversi solo lungo una circonferenza ;
*Un corpo rigido bidimensionale su un piano ha 3 gradi di libertà, poiché può traslare lungo due direzioni di riferimento e ruotare intorno ad un asse ortogonale alla superficie;
==Esempio - gradi di libertà di un corpo rigido== ▼[[Immagine:Solidoperfetto.JPG|thumb|left|Determinazione dei gradi di libertà di un corpo rigido.]] ▼[[Immagine:Solid DoF.svg|thumb|Rappresentazione dei gradi di libertà di un corpo rigido.]]
▲[[Immagine:Solidoperfetto.JPG|thumb|left|Determinazione dei gradi di libertà di un corpo rigido.]]
Come esempio, si può dimostrare che un [[corpo rigido]] ha '''6''' gradi di libertà, 3 di tipo traslazionale (rispetto ai 3 assi cartesiani ''x-y-z'') e 3 di tipo rotazionale (sempre rispetto ai 3 assi cartesiani).
▲== Esempio - gradi=Gradi di libertà di un corpo rigido in <math>\mathbb{R}^3</math>===
Come esempio, si può dimostrare che, rispetto ai tre [[Sistema di riferimento cartesiano|assi cartesiani]] <math>\{\hat\mathbf{x},\hat\mathbf{y},\hat\mathbf{z}\}</math>, un [[corpo rigido]] nello spazio tridimensionale ha esattamente [[6dof|6 gradi]] di libertà: 3 di tipo traslazionale e 3 di tipo rotazionale.
PerÈ possibile dimostrare geometricamente che per determinare univocamente la posizione di un corpo rigido basta conoscere la posizione di 3tre punti non allineati <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C non allineati</math>. Infatti, ogni altro punto <math>D</math> si può determinare nel modo seguente: considerato il triangolo <math>\overset{\triangle}{ACD}</math>, la base <math>\overline{AC}</math> è fissata; il punto <math>D</math> ha distanza fissata da <math>A</math> e <math>C</math>, e ha una certa distanza da <math>B</math>. Ruotando il triangolo <math>\overset{\triangle}{ACD}</math>, si perviene alla posizione <math>D'^\prime</math> che si trova alla stessa distanza di <math>D</math> da <math>B</math>. Tuttavia, <math>D'^\prime</math> si trova dalla parte opposta rispetto al piano <math>ABC</math>, quindi esiste solo un punto <math>D </math>che abbia una distanza fissata da <math>A</math>, <math>B,</math> e <math>C</math> e che si trovi da un lato fissato del piano <math>ABC</math>.
Ora, è chiaro che il sistema di punti <math>ABC</math> ha ''<math>9 - f''</math> gradi di libertà, dove ''f'' è il numero di vincoli. Poiché le distanze <math>\overline{AB}</math>, <math>\overline{BC}</math> e <math>\overline{AC}</math> devono rimanere costanti, ne consegue che ''<math>f = 3''</math> e quindi il corpo ha 6 gradi di libertà.
==Voci correlate==
*[[6dof]]
*[[Coordinate generalizzate]]
*[[Spazio delle configurazioni]]
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