Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni

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===Esempi===
Un sistema di <math>N</math> particelle nello spazio <math>D</math>-dimensionale può avere fino a <math>N\times D</math> gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate (una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella). Un sistema di ''<math>N</math>'' corpi rigidi può avere fino a <math>6N</math> coordinate generalizzate nello spazio tridimensionale, includendo 3 assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni delle particelle (vincoli olonomi) e le velocità (vincoli anolonomi). Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio <math>3D</math> ha 6 gradi di libertà (3 per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella), ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 vincolo). Una scelta conveniente delle variabili lagrangiane consiste in questo caso nell'usarne tre per localizzare il [[centro di massa]] del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.
 
Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio tridimensionale ha 6 gradi di libertà (3 per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella), ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 vincolo). Una scelta conveniente delle variabili lagrangiane consiste in questo caso nell'usarne tre per localizzare il [[centro di massa]] del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.
 
Un corpo costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale (es. una [[Curva_(matematica)|curva]] regolare <math>\varphi : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3,\ t\mapsto\mathbf x</math>) ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea <math>q=t</math>, cioè la variabile che parametrizza la curva. Da notare che un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.
 
:<math>\dot {\mathbf x}_{(\dot {\mathbf r})} = \nabla \mathbf x \cdot \dot {\mathbf q} + \frac{\partial \mathbf x}{\partial t}</math>
 
==Quantità di moto generalizzata e momento coniugato alla coordinata posizione==
La quantità di moto generalizzata è definita come grandezza corrispondente alle [[quantità di moto]] newtoniane:
 
:<math>P_i = \sum_{k = 1}^N p_k \frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i} =
\sum_{k = 1}^N m_k \dot {\mathbb x}_k \frac{\partial \dot {\mathbb x}_n}{\partial \dot q_i} =
\frac{\partial}{\partial \dot q_i} {\sum_{k = 1}^N \frac{1}{2}m_k \dot {\mathbf x}_k^2}</math>
 
Risulta che:
 
:<math>P_i = \frac{\partial T}{\partial \dot q_i}=\sum_{j = 1}^I H_{ij} T_{(\bar 0)} \dot q_j + \nabla_i T_{(\bar 0)} </math>
 
Quest'ultima equivalenza può essere comprovata utilizzando la dimostrazione delle [[equazioni di Lagrange]]. La quantità di moto generalizzata vale dunque:
 
:<math>\mathbf P_{(\dot {\mathbf q})} = \underline\underline H\, T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q} + \nabla T_{(\bar 0)} </math>
 
Si tratta di una forma lineare dell'energia cinetica nelle velocità generalizzate. Per un sistema olonomo, in particolare, risulta:
 
:<math>\mathbf P_{(\dot {\mathbf q})} = \underline\underline H\, T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q}</math>
 
Si deve porre attenzione nel legare quantità di moto generalizzate e forze generalizzate, in quanto le quantità di moto lagrangiane sono in base alle equazioni di Lagrange del I tipo:
 
:<math>P_i = \int F_i - \frac{\partial T}{\partial q_i} dt = p_i - \int \frac{\partial T}{\partial q_i} dt</math>
 
e differiscono quindi per il secondo termine <math> - \int\frac{\partial T}{\partial q_i} dt</math> dal momento coniugato (alla coordinata posizione <math> q_i</math>) <math>p_i = \int F_i dt</math>, cui si arriverebbe tentando di generalizzare la definizione newtoniana di [[forza]] come derivata totale temporale della quantità di moto, cioè il [[secondo principio della dinamica]].
 
In [[coordinate cartesiane]], la quantità di moto generalizzata ritorna chiaramente la [[quantità di moto]] semplice, mentre in [[coordinate sferiche]] diventa il [[momento angolare]]. In generale però non è sempre possibile darne un'interpretazione intuitiva.
 
==Energia cinetica in coordinate generalizzate==
 
Si noti ancora che la forza generalizzata differisce in generale per il secondo termine <math> - \frac{\partial T}{\partial q_i}</math> dalla derivata temporale della quantità di moto <math>\dot P_i</math>, cui si arriverebbe erroneamente inducendo una generalizzazione da una definizione di [[forza]] basata sul [[secondo principio della dinamica]], valida solo per la dinamica newtoniana.
 
==Quantità di moto generalizzata e momento lineare coniugato alla coordinata posizione==
La quantità di moto generalizzata è definita come grandezza corrispondente alle [[quantità di moto]] newtoniane:
 
:<math>P_i = \sum_{k = 1}^N p_k \frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i} =
\sum_{k = 1}^N m_k \dot {\mathbb x}_k \frac{\partial \dot {\mathbb x}_n}{\partial \dot q_i} =
\frac{\partial}{\partial \dot q_i} {\sum_{k = 1}^N \frac{1}{2}m_k \dot {\mathbf x}_k^2}</math>
 
Risulta che:
 
:<math>P_i = \frac{\partial T}{\partial \dot q_i}=\sum_{j = 1}^I H_{ij} T_{(\bar 0)} \dot q_j + \nabla_i T_{(\bar 0)} </math>
 
Quest'ultima equivalenza può essere comprovata utilizzando la dimostrazione delle [[equazioni di Lagrange]]. La quantità di moto generalizzata vale dunque:
 
:<math>\mathbf P_{(\dot {\mathbf q})} = \underline\underline H\, T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q} + \nabla T_{(\bar 0)} </math>
 
Si tratta di una forma lineare dell'energia cinetica nelle velocità generalizzate. Per un sistema olonomo, in particolare, risulta:
 
:<math>\mathbf P_{(\dot {\mathbf q})} = \underline\underline H\, T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q}</math>
 
Si deve porre attenzione nel legare quantità di moto generalizzate e forze generalizzate, in quanto le quantità di moto lagrangiane sono in base alle equazioni di Lagrange del I tipo:
 
:<math>P_i = \int F_i - \frac{\partial T}{\partial q_i} dt = p_i - \int \frac{\partial T}{\partial q_i} dt</math>
 
e differiscono quindi per il secondo termine <math> - \int\frac{\partial T}{\partial q_i} dt</math> dal momento lineare coniugato (alla coordinata posizione <math> q_i</math>) <math>p_i = \int F_i dt</math>, cui si arriverebbe tentando di generalizzare la definizione newtoniana di [[forza]] come derivata totale temporale della quantità di moto, cioè il [[secondo principio della dinamica]].
 
In [[coordinate cartesiane]], la quantità di moto generalizzata ritorna chiaramente la [[quantità di moto]] semplice, mentre in [[coordinate sferiche]] diventa il [[momento angolare]]. In generale però non è sempre possibile darne un'interpretazione intuitiva.
 
==Bibliografia==