Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni

:<math>\begin{align}\dot x_d

& = \frac {d}{dt} x_d \left (q_n, t \right) = \\

&= \sum_{i=1}^{ND}\frac{\partial x_d}{\partial q_i}{\partial q_i \over \partial t}+\frac{\partial x_d}{\partial t} = \\

&= \sum_{i=1}^{ND}\frac{\partial x_d}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial x_d}{\partial t}

Esprimendo gli '''<math>N</math>''' vettori posizione newtoniani <math>\mathbf x_{(\mathbf q)}</math> (delle particelle rispetto ai '''<math>D</math>''' assi cartesiani) in funzione delle '''<math>I</math>''' coordinate lagrangianegeneralizzate <math>q_i</math>:

L'energia cinetica in coordinate lagrangianegeneralizzate è in conclusione una [[ Serie di Taylor#Serie di Taylor in più variabili|serie di Taylor in I variabili]] [[forma quadratica|del second'ordine]] nel vettore velocità <math>\dot {\mathbf q}</math>, definita positiva poiché lo è l'[[hessiana]] <math>H</math> che vi compare. Inoltre i due termini lineare <math>\nabla T_{(\bar 0)}</math> e costante <math>T_{(\bar 0)}</math> dipendono in generale dal tempo: nel caso di un '''sistema olonomo''' l'energia cinetica si riduce a

È importante ricordare che le coordinate lagrangianegeneralizzate rispetto a cui si determina l'energia cinetica hanno l'ulteriore vantaggio di non dovere necessariamente essere [[sistema di riferimento inerziale|inerziali]], a differenza di quelle cartesiane.