Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni

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Un sistema di <math>N</math> particelle nello spazio <math>D</math>-dimensionale può avere fino a <math>N\times D</math> gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate (una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella). Un sistema di ''<math>N</math>'' corpi rigidi può avere fino a <math>6N</math> coordinate generalizzate nello spazio tridimensionale, includendo 3 assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni delle particelle (vincoli olonomi) e le velocità (vincoli anolonomi).
 
Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio tridimensionale ha 6 gradi di libertà (3 per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella), ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 vincolo). Una scelta conveniente delle variabili lagrangianegeneralizzate consiste in questo caso nell'usarne tre per localizzare il [[centro di massa]] del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.
 
Un corpo costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale (es. una [[Curva_(matematica)|curva]] regolare <math>\varphi : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3,\ t\mapsto\mathbf x</math>) ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea <math>q=t</math>, cioè la variabile che parametrizza la curva. Da notare che un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.
Analogamente un corpo vincolato ad una [[superficie (matematica)|superficie]] ha due gradi di libertà, anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è <math>\lbrace r_1,r_2\rbrace = \lbrace \theta,\phi \rbrace </math>, dove <math>\theta</math> e <math>\phi</math> sono le coordinate di angolo provenienti dalle [[coordinate sferiche]]. La coordinata <math>r</math> è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.
 
Un doppio [[pendolo]] costretto a muoversi su un piano può essere descritto, in un sistema di assi cartesiani <math>(x,y)</math>, con l'asse <math>y</math> verticale discendente, da quattro [[coordinate cartesiane]] <math>\lbrace x_1,y_1,x_2,y_2\rbrace</math>, ma il sistema ha solo due [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]], ed un sistema più efficiente potrebbe essere quello di considerare come variabili lagrangianegeneralizzate l'angolo che ciascun pendolo forma con la verticale. Ponendo <math>\lbrace r_1,r_2\rbrace = \lbrace\theta_1,\theta_2 \rbrace</math> otteniamo le seguenti relazioni:
 
:<math>\lbrace x_1, y_1 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1, l_1\cos\theta_1 \rbrace</math>
==Forza generalizzata==
Le forze generalizzate sono definite come in numero di <math>I</math> [[grandezze scalari]], con '''<math>I</math>''' il grado di libertà del sistema:
:<math>F_iQ_i = \frac{\partial W}{\partial q_i} = \sum_{k = 1}^N \mathbf F_k \cdot \frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i},</math>
 
Dove <math>W</math> è il [[lavoro]] della [[forza risultante|risultante]] attiva <math>\mathbf F</math> agente sul sistema. Si tratta quindi in termini newtoniani per variabili lunghezza e angolo rispettivamente delle grandezze [[forza]] e [[momento meccanico]] prese lungo la variabile, nel caso più generale di una combinazione delle due.
:<math>\delta W_k=\sum_{i=1}^I \mathbf F_k\cdot \frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i}\delta q_i=\sum_{i=1}^I F_{k,i} \cdot \delta q_i</math>
 
Il lavoro virtuale sulla particella sottoposta a vincoli bilaterali è cioè interamente calcolabile tramite le forze generalizzate agenti su di essa. A livello [[ingegneria|ingegneristico]] dove è necessario risalire allo sforzo che dovrebbe essere fatto da tutte le forze non vincolari se il sistema subisse uno [[spostamento virtuale]] <math>\delta q_i</math>, oppure alle [[sollecitazioni esterne]] imposte realmente dai vincoli, l'approccio Lagrangianolagrangiano risulta quindi particolarmente utile.
 
In base alle [[equazioni di Lagrange]] del I tipo e in [[forma di Nielsen]] si può legare la forza generalizzata all'energia cinetica del sistema:
 
:<math>F_i = \dot p_i Q_i = {\partial{T}\over \partial{\dot q_i}} - 2 {\partial{T}\over \partial q_i}</math>,
 
Si noti ancora che la forza generalizzata differisce in generale per il secondo termine <math> - \frac{\partial T}{\partial q_i}</math> dalla derivata temporale della quantità di moto <math>\dot P_i</math>, cui si arriverebbe erroneamente inducendo una generalizzazione da una definizione di [[forza]] basata sul [[secondo principio della dinamica]], valida solo per la dinamica newtoniana.
*[[Principio variazionale di Hamilton]]
*[[Teorema di Noether]]
*[[Trasformazioni canoniche]]
*[[Teoria di Hamilton-Jacobi]]
*[[Trasformazioni canoniche]]
 
==Collegamenti esterni==