Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni
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{{Nota disambigua|descrizione=altri significati|titolo=Coordinate euleriane e lagrangiane}}
In [[meccanica
==Definizione==
Dato un sistema meccanico con <math>n</math> gradi di libertà e un qualunque sistema di coordinate, per esempio [[coordinate cartesiane|cartesiane]], nel quale lo stato del sistema è indicato dal vettore <math>\mathbf r=(r_j)_{j=1,\dots,m}\in\mathbb{R}^m</math>, con <math> m\geq n</math>, è possibile esprimere ogni variabile <math>r_j</math> in funzione del vettore <math> \mathbf q=(q_i)_{i=1,\dots,n}\in A\subset\mathbb{R}^n</math> attraverso una <math>\
:<math>
\begin{cases}
r_1 = \
\vdots \\
r_m = \
\end{cases}
</math>
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===Esempi===
Un sistema di <math>N</math> particelle nello spazio <math>D</math>-dimensionale può avere fino a <math>N\times D</math> gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate,
Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio tridimensionale ha 6 gradi di libertà,
Un corpo costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale,
Analogamente un corpo vincolato ad una [[superficie (matematica)|superficie]] ha due gradi di libertà, anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è <math>\lbrace r_1,r_2\rbrace = \lbrace \theta,\phi \rbrace </math>, dove <math>\theta</math> e <math>\phi</math> sono le coordinate di angolo provenienti dalle [[coordinate sferiche]]. La coordinata <math>r</math> è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.
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:<math>T_{(\dot {\mathbf x})} = \frac {1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_k \dot {\mathbf x}_k \cdot \dot {\mathbf x}_k </math>
Esprimendo gli '''<math>N</math>''' vettori posizione newtoniani <math>\mathbf x_{(\mathbf q)}</math>,
:<math>T_{(\dot {\mathbf q})}=\frac {1}{2} \sum_{k=1}^{N}m_k \left(\frac{\partial \mathbb x_k}{\partial t} + \sum_{i=1}^{I}\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i}\dot q_i\right)\cdot
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:<math> T : \R^I \to \R </math>
L'energia cinetica in coordinate generalizzate è in conclusione una [[ Serie di Taylor#Serie di Taylor in più variabili|serie di Taylor in I variabili]] [[forma quadratica|del second'ordine]] nel vettore velocità <math>\dot {\mathbf q}</math>, definita positiva poiché lo è l'[[hessiana]] <math>
:<math>T|_{\left(\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t} = 0\right)} = \frac{1}{2} \dot {\mathbf q} \cdot \underline \underline H_{(\dot {\mathbf r})}T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q} = \frac{1}{2} \mathbf p \cdot \dot {\mathbf q}</math>
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