Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni

m
nessun oggetto della modifica
mNessun oggetto della modifica
mNessun oggetto della modifica
{{Nota disambigua|descrizione=altri significati|titolo=Coordinate euleriane e lagrangiane}}
 
In [[meccanica lagrangianarazionale]] un sistema di '''coordinate generalizzate''' è un [[sistema di coordinate]], di numero pari o superiore ai [[Grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]] del sistema, che determina univocamente lotutte statole delposizioni di un sistema.
 
==Definizione==
Dato un sistema meccanico con <math>n</math> gradi di libertà e un qualunque sistema di coordinate, per esempio [[coordinate cartesiane|cartesiane]], nel quale lo stato del sistema è indicato dal vettore <math>\mathbf r=(r_j)_{j=1,\dots,m}\in\mathbb{R}^m</math>, con <math> m\geq n</math>, è possibile esprimere ogni variabile <math>r_j</math> in funzione del vettore <math> \mathbf q=(q_i)_{i=1,\dots,n}\in A\subset\mathbb{R}^n</math> attraverso una <math>\underline \varphiPhi : A \to \mathbb{R}^m</math> funzione regolare. Ogni <math>q_i</math> è detta ''variabile'' o ''coordinata generalizzata'':
 
:<math>
\begin{cases}
r_1 = \varphiPhi (q_1, \dots, q_n)\\
\vdots \\
r_m = \varphiPhi (q_1, \dots , q_n)
\end{cases}
</math>
 
===Esempi===
Un sistema di <math>N</math> particelle nello spazio <math>D</math>-dimensionale può avere fino a <math>N\times D</math> gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate, (una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella). Un sistema di ''<math>N</math>'' corpi rigidi nello spazio tridimensionale può avere fino a <math>6N</math> coordinate generalizzate nello spazio tridimensionale, includendo 3tre assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni delle particelle (vincoli olonomi) e le velocità delle particelle (vincoli anolonomi).
 
Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio tridimensionale ha 6 gradi di libertà, (3tre per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella), ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 grado di vincolo). Una scelta conveniente delle variabili generalizzate consiste, in questo caso, nell'usarne tre per localizzare il [[centro di massa]] del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.
 
Un corpo costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale, (es.ad esempio una [[Curva_(matematica)|curva]] regolare <math>\varphi : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3,\ t\mapsto\mathbf x</math>), ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea <math>q=t</math>, cioè la variabile che parametrizza la curva. Da notare che un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.
 
Analogamente un corpo vincolato ad una [[superficie (matematica)|superficie]] ha due gradi di libertà, anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è <math>\lbrace r_1,r_2\rbrace = \lbrace \theta,\phi \rbrace </math>, dove <math>\theta</math> e <math>\phi</math> sono le coordinate di angolo provenienti dalle [[coordinate sferiche]]. La coordinata <math>r</math> è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.
:<math>T_{(\dot {\mathbf x})} = \frac {1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_k \dot {\mathbf x}_k \cdot \dot {\mathbf x}_k </math>
 
Esprimendo gli '''<math>N</math>''' vettori posizione newtoniani <math>\mathbf x_{(\mathbf q)}</math>, (delle particelle rispetto ai '''<math>D</math>''' assi cartesiani), in funzione delle '''<math>I</math>''' coordinate generalizzate <math>q_i</math>:
 
:<math>T_{(\dot {\mathbf q})}=\frac {1}{2} \sum_{k=1}^{N}m_k \left(\frac{\partial \mathbb x_k}{\partial t} + \sum_{i=1}^{I}\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i}\dot q_i\right)\cdot
:<math> T : \R^I \to \R </math>
 
L'energia cinetica in coordinate generalizzate è in conclusione una [[ Serie di Taylor#Serie di Taylor in più variabili|serie di Taylor in I variabili]] [[forma quadratica|del second'ordine]] nel vettore velocità <math>\dot {\mathbf q}</math>, definita positiva poiché lo è l'[[hessiana]] <math>HH_{ij}</math> che vi compare. Inoltre i due termini lineare <math>\nabla T_{(\bar 0)}</math> e costante <math>T_{(\bar 0)}</math> dipendono in generale dal tempo: nel caso di un '''sistema olonomo''' l'energia cinetica si riduce a
 
:<math>T|_{\left(\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t} = 0\right)} = \frac{1}{2} \dot {\mathbf q} \cdot \underline \underline H_{(\dot {\mathbf r})}T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q} = \frac{1}{2} \mathbf p \cdot \dot {\mathbf q}</math>