Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni

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inoltre vale che <math>\mathbf p = (p_i)_{i=1,\dots,n}</math>. Secondo la [[Meccanica lagrangiana|formulazione lagrangiana]] della meccanica razionale, come generatori dello spazio delle fasi si usa la coppia di ''coordinate lagrangiane'' <math>(\mathbf q,\dot\mathbf q)</math>, mentre secondo la [[Meccanica hamiltoniana|formulazione hamiltoniana]], si utilizza la coppia di ''coordinate hamiltoniane'' <math>(\mathbf q, \mathbf p)</math>.
 
== Velocità generalizzatae accelerazione generalizzate ==
Sia dato un sistema di <math>N</math> particelle in <math>D</math> [[dimensioni]], quindi con al massimo <math>N\times D</math> gradi di libertà. L'n-esima particella ha come coordinata d-esima <math>(X_{nd})</math>, e quindi le posizioni del sistema sono rappresentabili come una [[matrice]] <math>\underline\underline X \in \mathbb{R}^{N \times D}</math>. Si può passare ad un sistema di riferimento formato da <math>N\times D</math> coordinate generalizzate se esistono le <math>D+1</math> equazioni di trasformazione tra le <math>D</math> coordinate cartesiane e le generalizzate:
 
 
:<math>\dot x_d
= \frac {d}{dt} x_d \left (q_n, t \right)
= \frac{\partial x_d}{\partial t} + \sum_{i=1}^{ND}\frac{\partial x_d}{\partial q_i}{\partial q_i \over \partial t}+\frac{\partial x_dq_i}{\partial t}
= \frac{\partial x_d}{\partial t} + \sum_{i=1}^{ND}\frac{\partial x_d}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial x_d}{\partial t}
</math>
 
e quindi il vettore '''<math>D</math>'''-dimensionale velocità è dato da:
 
:<math>\dot {\mathbf x}_{(\dot {\mathbf r}q)} = \nablafrac{\partial \mathbf x \cdot \dot }{\mathbfpartial qt} + \frac{\partial nabla\mathbf x}{\partialcdot\dot\mathbf t}q</math>
 
Analogamente, applicando ancora una volta la regola della catena, è possibile ricavare le accelerazioni:
 
:<math>\ddot x_d
= \frac {d}{dt}\dot x_d
= \frac{\partial^2 x_d}{\partial t^2} + \sum_{i=1}^{ND} \left[\frac{\partial x_d}{\partial q_i}\frac{\partial^2 q_i}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 x_d}{\partial q_i^2}\left(\frac{\partial q_i}{\partial t}\right)^2\right]
= \frac{\partial^2 x_d}{\partial t^2} + \sum_{i=1}^{ND}\left(\frac{\partial x_d}{\partial q_i}\ddot q_i + \frac{\partial^2 x_d}{\partial q_i^2}\dot q_i^2\right)
</math>
 
pertanto, il vettore '''<math>D</math>'''-dimensionale accelerazione è pari a:
 
:<math>\ddot\mathbf x_{(\mathbf q)} = \frac{\partial^2 \mathbf x}{\partial t^2} + \nabla\mathbf x\cdot\ddot\mathbf q
+ \overline{\nabla}^2\mathbf x\cdot\dot\mathbf q^2</math>
 
==Energia cinetica in coordinate generalizzate==