Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni

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{{Nota disambigua|descrizione=altri significati|titolo=Coordinate euleriane e lagrangiane}}
 
In [[meccanica razionale]] un sistema di '''coordinate generalizzate''' è un [[sistema di coordinate]], di numero pari ai [[Grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]] del sistema, che determina univocamente tutte le posizioni di un sistema. Le coordinate generalizzate possono quindi anche essere rappresentate da grandezze diverse da posizioni o angoli, per esempio dall'energia meccanica o dal volume del sistema.
 
==Definizione==
</math>
 
Queste costituiscono un [[insieme di generatori]] di uno [[spazio vettoriale]] n-dimensionale, che prende il nome di [[spazio delle configurazioni]] del sistema, mentre non è necessario che siano [[linearmente indipendenti]]. Ciò non è vero ad esempio in presenza di [[Vincolo (meccanica razionale)|vincoli]] che legano tra di loro alcune tra le <math>r_j</math>. Le coordinate generalizzate possono quindi anche essere rappresentate da grandezze diverse da posizioni o angoli, per esempio dall'energia meccanica o dal volume del sistema.
 
===Esempi===
==Coordinate generalizzate e spazio delle fasi==
{{vedi anche|Spazio delle fasi}}
Poiché lo spazio delle configurazioni ha dimensione pari al numero di gradi di libertà del sistema, all'interno di esso è possibile descrivere soltanto la posizione di ciascun punto. Per descrivere il moto di ogni punto, che equivale a definire lo stato del sistema, è necessario aggiungere tante variabili quante sono le coordinate generalizzate, di modo che lo spazio delle fasi abbia dimensione doppia rispetto allo spazio delle configurazioni. Tuttavia, non esiste un modo univoco per definire i generatori dello spazio delle fasi.
Ogni coordinata generalizzata <math>q_i</math> è associata a una velocità generalizzata <math>\dot q_i</math>, definita come:
 
OgniA ogni coordinata generalizzata <math>q_i</math> è associata a una velocità generalizzata <math>\dot q_i</math>, definita come:
 
:<math>\dot q_i = \frac{\partial q_i}{\partial t}</math>
:<math>\mathcal{L}(\dot\mathbf q, \mathbf q) = T(\dot\mathbf q, \mathbf q) - U(\mathbf q)</math>
 
dove <math>T</math> è l'energia cinetica e <math>U</math> è l'energia potenziale. Si definisce quantità di moto, oIl ''momento lineare,'' ''coniugataconiugato'' alla coordinata <math>q_i</math>ilè definito vettorecome:
 
:<math>p_i = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot q_i}</math>
 
:<math> T : \R^{N \times D} \to \R </math>
:<math>T_{(\dot {\mathbf x})} = \frac {1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_k \dot {\mathbf x}_k \cdot \dot {\mathbf x}_k </math>
 
Esprimendo gli '''<math>N</math>''' vettori posizione newtoniani <math>\mathbf x_{(\mathbf q)}</math>, delle particelle rispetto ai '''<math>D</math>''' assi cartesiani, in funzione delle '''<math>I</math>''' coordinate generalizzate <math>q_i</math>:
 
:<math>T_{(\dot {\mathbf q})}=\frac {1}{2} \sum_{k=1}^{N}m_k \left(\frac{\partial \mathbb x_k}{\partial t} + \sum_{i=1}^{I}\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i}\dot q_i\right)\cdot
\left(\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t} + \sum_{j=1}^{I}\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_j}\dot q_j\right) </math>.
 
Svolgendo e raccogliendo nelle velocità generalizzate <math>\dot r_i</math>:
 
:<math>T_{(\dot {\mathbf q})}= \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^N {m_k} \left(\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t}\right)^2+ \sum_{i=1}^{I}\sum_{k = 1}^N {m_k} \frac{(\partial \mathbf x_k)^2}{\partial t\, \partial q_i} \dot q_i +
\frac{1}{2}\sum_{i, j=1}^{I} \sum_{k = 1}^N {m_k} \frac{(\partial \mathbf x_n)^2}{\partial q_i \partial q_j} \dot q_i \dot q_j </math>
 
Quindi riassumendo vettorialmente l'identità scalare:
 
:<math>T_{(\dot {\mathbf r}q)}= T_{(\bar 0)} + \sum_{i=1}^{I}\nabla_i T_{(\bar 0)} \dot q_i + \frac{1}{2}\sum_{i, j=1}^{I} H_{ij} T_{(\bar 0)} \dot q_i \dot q_j</math>
 
si ottiene infine:
 
:<math>T_{(\dot {\mathbf q})}= T_{(\bar 0)} + \nabla T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q} + \frac{1}{2} \dot {\mathbf q} \cdot \underline \underline H T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q} </math>
:<math> T : \R^I \to \R </math>
 
Quest'ultima equivalenza può essere comprovata utilizzando la dimostrazione delle [[equazioni di Lagrange]]. La quantità di moto generalizzata vale dunque:
 
:<math>\mathbf P_{(\dot {\mathbf q})} = \underline\underline H\, T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q} + \nabla T_{(\bar 0)} </math>
 
Si tratta di una forma lineare dell'energia cinetica nelle velocità generalizzate. Per un sistema olonomo, in particolare, risulta:
 
:<math>\mathbf P_{(\dot {\mathbf q})} = \underline\underline H\, T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q}</math>
 
Si deve porre attenzione nel legare quantità di moto generalizzate e forze generalizzate, in quanto le quantità di moto lagrangiane sono in base alle equazioni di Lagrange del I tipo:
:<math>P_i = \int F_i - \frac{\partial T}{\partial q_i} dt = p_i - \int \frac{\partial T}{\partial q_i} dt</math>
 
e differiscono quindi per il secondo termine <math> - \int\frac{\partial T}{\partial q_i} dt</math> dal momento lineare coniugato (alla coordinata posizione <math> q_i</math>) <math>p_i = \int F_i dt</math>, cui si arriverebbe tentando di generalizzare la definizione newtoniana di [[forza]] come derivata totale temporale della quantità di moto, cioè il [[secondo principio della dinamica]].
 
In [[coordinate cartesiane]], la quantità di moto generalizzata ritorna chiaramente la [[quantità di moto]] semplice, mentre in [[coordinate sferiche]] diventa il [[momento angolare]]. In generale però non è sempre possibile darne un'interpretazione intuitiva.