Geometria differenziale delle curve: differenze tra le versioni
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la lunghezza NON è l'ascissa curvilinea |
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=== Definizioni di base ===
{{vedi anche|curva (matematica)}}
Una ''curva'' è una [[funzione continua]] <math> f\colon I\to \R^m </math>, dove <math>I\subset\R</math> è un [[intervallo (matematica)|intervallo]] dei [[numeri reali]]. Se <math> I = [a,b] </math>, con <math> a < b </math>, <math> f(a) </math> si dice punto iniziale e <math> f(b) </math> punto finale, mentre
In questa voce, supporremmo che <math>f</math> sia una [[funzione differenziabile]] sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; si chiede inoltre che la sua derivata prima <math>f'(t)</math> sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo <math>I</math>.
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dove <math>p\colon J \to I</math> è una [[corrispondenza biunivoca|biiezione]] differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi [[funzione crescente|crescente]]) e <math>J</math> è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con <math>I</math>. In questo caso le curve <math>f</math> e <math>g</math>, benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.
La ''lunghezza'' di una curva <math> f </math>
:<math>L(f) = \int_a^b \vert f'(t) \vert dt</math>
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