Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni

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Analogamente, applicando ancora una volta la regola della catena, è possibile ricavare le accelerazioni:
 
:<math>\ddot x_d
= \frac {d}{dt}\dot x_d
= \frac{\partial^2 x_d}{\partial t^2} + \sum_{i=1}^{ND} \left[\frac{\partial x_d}{\partial q_i}\frac{\partial^2 q_i}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 x_d}{\partial q_i^2}\left(\frac{\partial q_i}{\partial t}\right)^2\right]
 
:<math> T : \R^{N \times D} \to \R </math>
:<math>T_{(\mathbf x)} = \frac {1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_k (\dot {\mathbf x}_k \cdot \dot {\mathbf x}_k) </math>
 
Esprimendo gli '''<math>N</math>''' vettori posizione newtoniani <math>\mathbf x_{(\mathbf q)}</math>, delle particelle rispetto ai '''<math>D</math>''' assi cartesiani, in funzione delle '''<math>I</math>''' coordinate generalizzate <math>q_i</math>:
\left(\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t} + \sum_{j=1}^{I}\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_j}\dot q_j\right) </math>.
 
Svolgendo e raccogliendo nelle velocità generalizzate <math>\dot r_iq_i</math>:
 
:<math>T_{(\mathbf q)}= \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^N {m_k} \left(\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t}\right)^2+ \sum_{i=1}^{I}\sum_{k = 1}^N {m_k} \frac{(\partial \mathbf x_k)^2}{\partial t\, \partial q_i} \dot q_i +
L'energia cinetica in coordinate generalizzate è in conclusione una [[ Serie di Taylor#Serie di Taylor in più variabili|serie di Taylor in I variabili]] [[forma quadratica|del second'ordine]] nel vettore velocità <math>\dot {\mathbf q}</math>, definita positiva poiché lo è l'[[hessiana]] <math>H_{ij}</math> che vi compare. Inoltre i due termini lineare <math>\nabla T_{(\bar 0)}</math> e costante <math>T_{(\bar 0)}</math> dipendono in generale dal tempo: nel caso di un '''sistema olonomo''' l'energia cinetica si riduce a
 
:<math>T|_{\left(\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t} = 0\right)} = \frac{1}{2} \dot {\mathbf q} \cdot \underline \underline H_{(\dot {\mathbf r}q)}T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q} = \frac{1}{2} \mathbf p \cdot \dot {\mathbf q}</math>
 
È importante ricordare che le coordinate generalizzate rispetto a cui si determina l'energia cinetica hanno l'ulteriore vantaggio di non dovere necessariamente essere [[sistema di riferimento inerziale|inerziali]], a differenza di quelle cartesiane.
Si noti ancora che la forza generalizzata differisce in generale per il secondo termine <math> - \frac{\partial T}{\partial q_i}</math> dalla derivata temporale della quantità di moto <math>\dot P_i</math>, cui si arriverebbe erroneamente inducendo una generalizzazione da una definizione di [[forza]] basata sul [[secondo principio della dinamica]], valida solo per la dinamica newtoniana.
 
==Quantità di moto generalizzata e momento lineare coniugato==
La quantità di moto generalizzata è definita come grandezza corrispondente alle [[quantità di moto]] newtoniane:
 
 
==Voci correlate==
*[[Azione (fisica)|Azione]]
*[[Calcolo delle variazioni]]
*[[Equazioni di Hamilton]]
*[[Grado di libertà (meccanica classica)|Grado di libertà]]
*[[Hamiltoniana (funzione)|Hamiltoniana]]
*[[Lagrangiana]]
*[[Lavoro virtuale]]
*[[Meccanica hamiltoniana]]
*[[Meccanica lagrangiana]]
*[[Metodo variazionale]]
*[[Principio di Fermat]]
*[[Principio di minimo vincolo]]
*[[Principio di Maupertuis]]
*[[Principio variazionale di Hamilton]]
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