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Coppia (matematica): differenze tra le versioni

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Per quanto il concetto di "coppia ordinata" possa sembrare estremamente semplice e intuitivo, esso è uno di quei concetti che hanno posto le maggiori difficoltà nell'ambito della formulazione rigorosa della matematica. Infatti se si persegue lo scopo di fondare tutta la matematica su un unico '''[[Sistema assiomatico#Dimostrazioni e definizioni|concetto primitivo]]''', e si vuole che tale concetto primitivo sia quello di insieme, allora anche la coppia ordinata deve essere definita a partire solo dal concetto di insieme. E questo è un problema tutt'altro che banale.
 
Per produrre una soddisfazionedefinizione soddisfacente di coppia ordinata, ovvero in grado di cogliere ciò che intendiamo intuitivamente con quel termine, occorre per prima cosa bisogna definire le proprietà fondamentali che devono caratterizzare la coppia ordinata, e in particolare quelle proprietà che consentono di distinguerla da un insieme.
 
Quando si esplicitano gli elementi di un certo insieme, occorreogni elencareelemento ogniviene suo elementoelencato una e una sola volta, e soprattutto non conta l'ordine con cui vengono datielencati gli elementi. Ad esempio se qualcuno ci chiede quali siano le mogli di Enrico VIII, possiamo fornire la risposta nella forma del seguente insieme:
:{Anna Bolena, Caterina Howard, Caterina d'Aragona, Anna di Cléves, Jane Seymour, Carerina Parr}
 
In questo insieme ci sono effettivamente tutte le sei mogli di Enrico VIII, sicché di fatto abbiamo risposto alla domanda che ci era stata posta., Tuttaviatuttavia, se è vero che quello è l'insieme delle mogli di Enrico, esse non si trovano disposte secondo l'ordine con cui sono state sposate (ad esempio, come in questo caso, si può cominciare con l'elencare quelle più famose, ovvero le prime che vegono in mente, e poi procedere con le altre a mano a che vengono in mente).
 
Le cose cambiano se qualcuno ci chiede quale sia stata la '''sequenza''' (o, meno propriamente, la '''successione''') delle mogli di Enrico VIII. In tal caso non sarebbe sufficiente elencare lgli elementi dell'insieme delle mogli, ma dovremmo dire quale sia stata la prima, la seconda, la terza, eccetera.
 
Ora, il fatto che quando si esplicitino a voce o per iscritto gli elementi di un insieme si debba comunque seguire una certa sequenza, perché il linguaggio umano è sequenziale, potrebbe far pensare che gli insiemi vengano dati sempre e comunque in una certa sequenza (o successione) e che si tratti semplicemente di fornire la successione "giusta". Se così fosse nel nostro caso dovremmo semplicemente "riordinare" l'insieme esplcitato qui sopra partendo dalla prima moglie e procedendo con quelle successive. In realtà però nel concetto di insieme non c'è nulla che richiami un ordine, e se vogliamo raffigurarci un insieme lo dobbiamo piuttosto raffigurare come un insieme di oggetti sparsi su un piano, o comunque in uno spazio non ordinato. Nel nostro caso l'insieme delle mogli di Enrico potrebbe essere immaginato come un insiene di sei immagini sparse su una scrivania, con tanto di nome sopra. Oppure possiamo pensare ad un sacchetto nel quale siano state poste delle palline, ognuna delle quali contine un nome.
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La soluzione di questo problema fu trovata per la prima volta da Norbert Wiener nel 1914, e qualche anno più tardi Kazimierz Kuratowski trovò una soluzione simile, ma più elegante.
 
Supponiamo di voler indicare, in qualche modo convenzionale, che la prima moglie di Enrico VIII è stata Caterina d'Aragona. Allora possiamo preparare un solo sacchetto, con dentro una pallina che contiene il nome di Caterina d'Aragona. In questo modo - se chi apre il sacchetto - se conosce la convenzione che stiamo usando, - capirà che c'è stato un tempo in cui l'unica moglie di Enrico era ed era stata Caterina d'Aragona. Se quello è l'unico sacchetto fra tanti a contenere un solo nome, allora non importa dove esso si trovi in mezzo a tutti gli altri: la semplice esistenza del sacchetto in mezzo a tutti gli altri sarà sufficiente a comunicare che la prima moglie è stata Caterina. Un sacchetto con un solo nome rappresenta ovviamente un insieme contenente un solo elemento, per cui il primo insieme che dovremo preparare è questo:
:{Caterina d'Aragona}
 
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A questo punto abbiamo già tutto ciò che ci serve per descrivere la coppia ordinata delle prime due mogli di Enrico VIII. Basta infatti porre questi due sacchetti in un sacchetto più grande e consegnare il tutto a chi di dovere. Il sacchetto più grande sta ovviamente per un insieme che contiene i due precedenti insiemi, cioè:
:{{Caterina d'Aragona}, {Caterina d'Aragona, Anna Bolena}}
 
Così facendo, usando solo ed esclusivamente degli insiemi, siamo stati in grado di esprimere tutte le informazioni contenute in una coppia ordinata.
 
Bisogna poi preparare un terzo sacchetto, dal quale si possa evincere che la terza moglie è stata Jane Seymour, e così via. Esistono vari modi di procedere in pratica, ma visto che tutta questa discussione è finalizzata ad un problema di matematica, possiamo sfrutturesfruttare '''in modo ricorsivo''' il fatto di essere riusciti a trovare un modo di realizzare con degli insiemi una coppia ordinata. Infatti se sappiamo esprimere in termini di insiemi la coppia ordinata (a,b) di elementi di un insieme A, allora per esprimere una tripla ordinata (a, b, c) la possiamo esprimere come coppia ordinata di due termini, uno dei quali è un termine di A, e l'altro è una coppia ordinata di termini di A. Si tratta cioè di porre:
 
Infatti se sappiamo esprimere in termini di insiemi la coppia ordinata (a,b) di elementi di un insieme A, allora per esprimere una tripla ordinata (a, b, c) la possiamo esprimere come coppia ordinata di due termini, uno dei quali è un termine di A, e l'altro è una coppia ordinata di termini di A. Si tratta cioè di porre:
:(a, b) = (a,(b, c))
 
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Coppia_(matematica)"