Formula di Erone: differenze tra le versioni

semplicemente elevando al quadrato ambo i membri e moltiplicando poi per <math>4</math>.

Si osserva ora che indicando con <math>c</math> la base e <math>h</math> l'altezza del triangolo, il primo membro dell'espressione precedente si può scrivere come <math>(ch)^2</math>, o anche

perché per il [[teorema di Pitagora]] si ha: <math>b^2-d^2=h^2</math>

a destra, la formula di Erone si riduce, per mezzo dell'identità <math>(s+q)^2-(s-q)^2=4sq</math>, a

La prima si ottiene immediatamente sostituendo <math>(a+b+c)/2</math> al posto di <math>p</math> e semplificando. Facendo questo all'interno della seconda, si ottiene <math>p(p-a)(p-b)(p-c)</math> solo fino a <math>(b^2+c^2-a^2)/2</math>. Ma; se inoltre sostituiamo <math>b^2</math> con <math>d^2+h^2</math> e <math>a^2</math> con <math>(c-d)^2 +h^2</math>, entrambe da Pitagora, semplificando si ottiene infine <math>cd</math> come richiesto.