Differenze tra le versioni di "Formula di Erone"

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:<math> 4A^2 = 4p(p-a)(p-b)(p-c),</math>
 
semplicemente elevando al quadrato ambo i membri e moltiplicando poi per <math>4</math>. Si osserva ora che indicando con <math>c</math> la base e <math>h</math> l'altezza del triangolo, il primo membro dell'espressione precedente si può scrivere come <math>(ch)^2</math>, o anche
 
Si osserva ora che indicando con <math>c</math> la base e <math>h</math> l'altezza del triangolo, il primo membro dell'espressione precedente si può scrivere come <math>(ch)^2</math>, o anche
 
:<math> c^2(b^2-d^2) = (cb)^2-(cd)^2,</math>
 
perché per il [[teorema di Pitagora]] si ha: <math>b^2-d^2=h^2</math> a destra, la formula di Erone si riduce, per mezzo dell'identità <math>(s+q)^2-(s-q)^2=4sq</math>, a
 
a destra, la formula di Erone si riduce, per mezzo dell'identità <math>(s+q)^2-(s-q)^2=4sq</math>, a
 
:<math>(p(p-a)+(p-b)(p-c))^2 - (p(p-a)-(p-b)(p-c))^2.</math>
:<math>cd = p(p-a)-(p-b)(p-c).</math>
 
La prima si ottiene immediatamente sostituendo <math>(a+b+c)/2</math> al posto di <math>p</math> e semplificando. Facendo questo all'interno della seconda, si ottiene <math>p(p-a)(p-b)(p-c)</math> solo fino a <math>(b^2+c^2-a^2)/2</math>. Ma; se inoltre sostituiamo <math>b^2</math> con <math>d^2+h^2</math> e <math>a^2</math> con <math>(c-d)^2 +h^2</math>, entrambe da Pitagora, semplificando si ottiene infine <math>cd</math> come richiesto.
 
== Stabilità numerica ==
Utente anonimo